Matemática básica Ejemplos

$128 a^{3} + 686 = 0$

Paso 1

Resta $686$ de ambos lados de la ecuación.

$128 a^{3} = - 686$

Paso 2

Suma $686$ a ambos lados de la ecuación.

$128 a^{3} + 686 = 0$

Paso 3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Factoriza $2$ de $128 a^{3} + 686$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $2$ de $128 a^{3}$ .

$2 (64 a^{3}) + 686 = 0$

Paso 3.1.2

Factoriza $2$ de $686$ .

$2 (64 a^{3}) + 2 (343) = 0$

Paso 3.1.3

Factoriza $2$ de $2 (64 a^{3}) + 2 (343)$ .

$2 (64 a^{3} + 343) = 0$

Paso 3.2

Reescribe $64 a^{3}$ como ${(4 a)}^{3}$ .

$2 ({(4 a)}^{3} + 343) = 0$

Paso 3.3

Reescribe $343$ como $7^{3}$ .

$2 ({(4 a)}^{3} + 7^{3}) = 0$

Paso 3.4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = 4 a$ y $b = 7$ .

$2 ((4 a + 7) ({(4 a)}^{2} - 4 a \cdot 7 + 7^{2})) = 0$

Paso 3.5

Factoriza.

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Paso 3.5.1

Simplifica.

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Paso 3.5.1.1

Aplica la regla del producto a $4 a$ .

$2 ((4 a + 7) (4^{2} a^{2} - 4 a \cdot 7 + 7^{2})) = 0$

Paso 3.5.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$2 ((4 a + 7) (16 a^{2} - 4 a \cdot 7 + 7^{2})) = 0$

Paso 3.5.1.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$2 ((4 a + 7) (16 a^{2} - 4 a \cdot 7 + 7^{2})) = 0$

Paso 3.5.1.4

Multiplica $7$ por $- 4$ .

$2 ((4 a + 7) (16 a^{2} - 28 a + 7^{2})) = 0$

Paso 3.5.1.5

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$2 ((4 a + 7) (16 a^{2} - 28 a + 49)) = 0$

Paso 3.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (4 a + 7) (16 a^{2} - 28 a + 49) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 a + 7 = 0$

$16 a^{2} - 28 a + 49 = 0$

Paso 5

Establece $4 a + 7$ igual a $0$ y resuelve $a$ .

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Paso 5.1

Establece $4 a + 7$ igual a $0$ .

$4 a + 7 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $4 a + 7 = 0$ en $a$ .

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Paso 5.2.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$4 a = - 7$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $4 a = - 7$ por $4$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $4 a = - 7$ por $4$ .

$\frac{4 a}{4} = \frac{- 7}{4}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 a}{4} = \frac{- 7}{4}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{- 7}{4}$

Paso 5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$a = - \frac{7}{4}$

Paso 6

Establece $16 a^{2} - 28 a + 49$ igual a $0$ y resuelve $a$ .

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Paso 6.1

Establece $16 a^{2} - 28 a + 49$ igual a $0$ .

$16 a^{2} - 28 a + 49 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $16 a^{2} - 28 a + 49 = 0$ en $a$ .

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Paso 6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6.2.2

Sustituye los valores $a = 16$ , $b = - 28$ y $c = 49$ en la fórmula cuadrática y resuelve $a$ .

$\frac{28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 49)}}{2 \cdot 16}$

Paso 6.2.3

Simplifica.

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Paso 6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.3.1.1

Eleva $- 28$ a la potencia de $2$ .

$a = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot 16 \cdot 49}}{2 \cdot 16}$

Paso 6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 49$ .

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Paso 6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$a = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 64 \cdot 49}}{2 \cdot 16}$

Paso 6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 64$ por $49$ .

$a = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 3136}}{2 \cdot 16}$

Paso 6.2.3.1.3

Resta $3136$ de $784$ .

$a = \frac{28 \pm \sqrt{- 2352}}{2 \cdot 16}$

Paso 6.2.3.1.4

Reescribe $- 2352$ como $- 1 (2352)$ .

$a = \frac{28 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2352}}{2 \cdot 16}$

Paso 6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (2352)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}$ .

$a = \frac{28 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 16}$

Paso 6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{28 \pm i \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 16}$

Paso 6.2.3.1.7

Reescribe $2352$ como $28^{2} \cdot 3$ .

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Paso 6.2.3.1.7.1

Factoriza $784$ de $2352$ .

$a = \frac{28 \pm i \cdot \sqrt{784 (3)}}{2 \cdot 16}$

Paso 6.2.3.1.7.2

Reescribe $784$ como $28^{2}$ .

$a = \frac{28 \pm i \cdot \sqrt{28^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Paso 6.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$a = \frac{28 \pm i \cdot (28 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Paso 6.2.3.1.9

Mueve $28$ a la izquierda de $i$ .

$a = \frac{28 \pm 28 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$a = \frac{28 \pm 28 i \sqrt{3}}{32}$

Paso 6.2.3.3

Simplifica $\frac{28 \pm 28 i \sqrt{3}}{32}$ .

$a = \frac{7 \pm 7 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$a = \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{8}, \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (4 a + 7) (16 a^{2} - 28 a + 49) = 0$ verdadera.

$a = - \frac{7}{4}, \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{8}, \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{8}$