Matemática básica Ejemplos

$\sqrt{2 c - 1} = 2 c - 7$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{2 c - 1}}^{2} = {(2 c - 7)}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 c - 1}$ como ${(2 c - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 c - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 c - 7)}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(2 c - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 c - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 c - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 c - 7)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(2 c - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 c - 7)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 c - 1)}^{1} = {(2 c - 7)}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$2 c - 1 = {(2 c - 7)}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(2 c - 7)}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe ${(2 c - 7)}^{2}$ como $(2 c - 7) (2 c - 7)$ .

$2 c - 1 = (2 c - 7) (2 c - 7)$

Paso 2.3.1.2

Expande $(2 c - 7) (2 c - 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 c - 1 = 2 c (2 c - 7) - 7 (2 c - 7)$

Paso 2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 c - 1 = 2 c (2 c) + 2 c \cdot - 7 - 7 (2 c - 7)$

Paso 2.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 c - 1 = 2 c (2 c) + 2 c \cdot - 7 - 7 (2 c) - 7 \cdot - 7$

Paso 2.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 c - 1 = 2 \cdot 2 c \cdot c + 2 c \cdot - 7 - 7 (2 c) - 7 \cdot - 7$

Paso 2.3.1.3.1.2

Multiplica $c$ por $c$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1.3.1.2.1

Mueve $c$ .

$2 c - 1 = 2 \cdot 2 (c \cdot c) + 2 c \cdot - 7 - 7 (2 c) - 7 \cdot - 7$

Paso 2.3.1.3.1.2.2

Multiplica $c$ por $c$ .

$2 c - 1 = 2 \cdot 2 c^{2} + 2 c \cdot - 7 - 7 (2 c) - 7 \cdot - 7$

Paso 2.3.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 c - 1 = 4 c^{2} + 2 c \cdot - 7 - 7 (2 c) - 7 \cdot - 7$

Paso 2.3.1.3.1.4

Multiplica $- 7$ por $2$ .

$2 c - 1 = 4 c^{2} - 14 c - 7 (2 c) - 7 \cdot - 7$

Paso 2.3.1.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 7$ .

$2 c - 1 = 4 c^{2} - 14 c - 14 c - 7 \cdot - 7$

Paso 2.3.1.3.1.6

Multiplica $- 7$ por $- 7$ .

$2 c - 1 = 4 c^{2} - 14 c - 14 c + 49$

Paso 2.3.1.3.2

Resta $14 c$ de $- 14 c$ .

$2 c - 1 = 4 c^{2} - 28 c + 49$

Paso 3

Resuelve $c$

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Paso 3.1

Como $c$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$4 c^{2} - 28 c + 49 = 2 c - 1$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que contengan $c$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $2 c$ de ambos lados de la ecuación.

$4 c^{2} - 28 c + 49 - 2 c = - 1$

Paso 3.2.2

Resta $2 c$ de $- 28 c$ .

$4 c^{2} - 30 c + 49 = - 1$

Paso 3.3

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 c^{2} - 30 c + 49 + 1 = 0$

Paso 3.4

Suma $49$ y $1$ .

$4 c^{2} - 30 c + 50 = 0$

Paso 3.5

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.5.1

Factoriza $2$ de $4 c^{2} - 30 c + 50$ .

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Paso 3.5.1.1

Factoriza $2$ de $4 c^{2}$ .

$2 (2 c^{2}) - 30 c + 50 = 0$

Paso 3.5.1.2

Factoriza $2$ de $- 30 c$ .

$2 (2 c^{2}) + 2 (- 15 c) + 50 = 0$

Paso 3.5.1.3

Factoriza $2$ de $50$ .

$2 (2 c^{2}) + 2 (- 15 c) + 2 (25) = 0$

Paso 3.5.1.4

Factoriza $2$ de $2 (2 c^{2}) + 2 (- 15 c)$ .

$2 (2 c^{2} - 15 c) + 2 (25) = 0$

Paso 3.5.1.5

Factoriza $2$ de $2 (2 c^{2} - 15 c) + 2 (25)$ .

$2 (2 c^{2} - 15 c + 25) = 0$

Paso 3.5.2

Factoriza.

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Paso 3.5.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.5.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 25 = 50$ y cuya suma es $b = - 15$ .

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Paso 3.5.2.1.1.1

Factoriza $- 15$ de $- 15 c$ .

$2 (2 c^{2} - 15 c + 25) = 0$

Paso 3.5.2.1.1.2

Reescribe $- 15$ como $- 5$ más $- 10$

$2 (2 c^{2} + (- 5 - 10) c + 25) = 0$

Paso 3.5.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 c^{2} - 5 c - 10 c + 25) = 0$

Paso 3.5.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.5.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 ((2 c^{2} - 5 c) - 10 c + 25) = 0$

Paso 3.5.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 (c (2 c - 5) - 5 (2 c - 5)) = 0$

Paso 3.5.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 c - 5$ .

$2 ((2 c - 5) (c - 5)) = 0$

Paso 3.5.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (2 c - 5) (c - 5) = 0$

Paso 3.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 c - 5 = 0$

$c - 5 = 0$

Paso 3.7

Establece $2 c - 5$ igual a $0$ y resuelve $c$ .

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Paso 3.7.1

Establece $2 c - 5$ igual a $0$ .

$2 c - 5 = 0$

Paso 3.7.2

Resuelve $2 c - 5 = 0$ en $c$ .

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Paso 3.7.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$2 c = 5$

Paso 3.7.2.2

Divide cada término en $2 c = 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.7.2.2.1

Divide cada término en $2 c = 5$ por $2$ .

$\frac{2 c}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 3.7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 c}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 3.7.2.2.2.1.2

Divide $c$ por $1$ .

$c = \frac{5}{2}$

Paso 3.8

Establece $c - 5$ igual a $0$ y resuelve $c$ .

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Paso 3.8.1

Establece $c - 5$ igual a $0$ .

$c - 5 = 0$

Paso 3.8.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$c = 5$

Paso 3.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (2 c - 5) (c - 5) = 0$ verdadera.

$c = \frac{5}{2}, 5$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\sqrt{2 c - 1} = 2 c - 7$ sea verdadera.

$c = 5$