Matemática básica Ejemplos

$\cos (θ) + \cos (3 θ) = 2 \cos (2 θ)$

Paso 1

Resta $2 \cos (2 θ)$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (θ) + \cos (3 θ) - 2 \cos (2 θ) = 0$

Paso 2

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Usa la razón del ángulo triple para transformar $\cos (3 x)$ a $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 2 \cos (2 θ) = 0$

Paso 2.1.2

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 2 (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 2 (2 \cos^{2} (θ)) - 2 \cdot - 1 = 0$

Paso 2.1.4

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 4 \cos^{2} (θ) - 2 \cdot - 1 = 0$

Paso 2.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

Paso 2.2

Resta $3 \cos (θ)$ de $\cos (θ)$ .

$- 2 \cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

Paso 3

Factoriza $- 2 \cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2$ .

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Paso 3.1

Factoriza $2$ de $- 2 \cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 \cos (θ)$ .

$2 (- \cos (θ)) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

Paso 3.1.2

Factoriza $2$ de $4 \cos^{3} (θ)$ .

$2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ)) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

Paso 3.1.3

Factoriza $2$ de $- 4 \cos^{2} (θ)$ .

$2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 2 = 0$

Paso 3.1.4

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1) = 0$

Paso 3.1.5

Factoriza $2$ de $2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ))$ .

$2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1) = 0$

Paso 3.1.6

Factoriza $2$ de $2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ))$ .

$2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1) = 0$

Paso 3.1.7

Factoriza $2$ de $2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1)$ .

$2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ) + 1) = 0$

Paso 3.2

Reordena los términos.

$2 (2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ) - \cos (θ) + 1) = 0$

Paso 3.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 (2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ) - \cos (θ) + 1) = 0$

Paso 3.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 (2 \cos^{2} (θ) (\cos (θ) - 1) - (\cos (θ) - 1)) = 0$

Paso 3.4

Factoriza.

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Paso 3.4.1

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $\cos (θ) - 1$ .

$2 ((\cos (θ) - 1) (2 \cos^{2} (θ) - 1)) = 0$

Paso 3.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (\cos (θ) - 1) (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos (θ) - 1 = 0$

$2 \cos^{2} (θ) - 1 = 0$

Paso 5

Establece $\cos (θ) - 1$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Paso 5.1

Establece $\cos (θ) - 1$ igual a $0$ .

$\cos (θ) - 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $\cos (θ) - 1 = 0$ en $θ$ .

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Paso 5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\cos (θ) = 1$

Paso 5.2.2

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$θ = \arccos (1)$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$θ = 0$

Paso 5.2.4

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$θ = 2 π - 0$

Paso 5.2.5

Resta $0$ de $2 π$ .

$θ = 2 π$

Paso 5.2.6

Obtén el período de $\cos (θ)$ .

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Paso 5.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.2.7

El período de la función $\cos (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

Establece $2 \cos^{2} (θ) - 1$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Paso 6.1

Establece $2 \cos^{2} (θ) - 1$ igual a $0$ .

$2 \cos^{2} (θ) - 1 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $2 \cos^{2} (θ) - 1 = 0$ en $θ$ .

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Paso 6.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \cos^{2} (θ) = 1$

Paso 6.2.2

Divide cada término en $2 \cos^{2} (θ) = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Divide cada término en $2 \cos^{2} (θ) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 6.2.2.2.1.2

Divide $\cos^{2} (θ)$ por $1$ .

$\cos^{2} (θ) = \frac{1}{2}$

Paso 6.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (θ) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Paso 6.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.2.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Paso 6.2.4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 6.2.4.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 6.2.4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.2.4.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 6.2.4.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 6.2.4.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 6.2.4.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 6.2.4.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 6.2.4.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 6.2.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 6.2.4.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 6.2.4.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.2.4.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.4.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.2.4.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 6.2.4.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 6.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 6.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 6.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 6.2.6

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $θ$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 6.2.7

Resuelve $θ$ en $\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 6.2.7.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 6.2.7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.7.2.1

El valor exacto de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ es $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Paso 6.2.7.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{4}$

Paso 6.2.7.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Paso 6.2.7.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 6.2.7.4.2

Combina fracciones.

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Paso 6.2.7.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 6.2.7.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 6.2.7.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.7.4.3.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$θ = \frac{8 π - π}{4}$

Paso 6.2.7.4.3.2

Resta $π$ de $8 π$ .

$θ = \frac{7 π}{4}$

Paso 6.2.7.5

Obtén el período de $\cos (θ)$ .

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Paso 6.2.7.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.2.7.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.2.7.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.2.7.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6.2.7.6

El período de la función $\cos (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6.2.8

Resuelve $θ$ en $\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 6.2.8.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 6.2.8.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.8.2.1

El valor exacto de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ es $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Paso 6.2.8.3

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$θ = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Paso 6.2.8.4

Simplifica $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Paso 6.2.8.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Paso 6.2.8.4.2

Combina fracciones.

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Paso 6.2.8.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Paso 6.2.8.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Paso 6.2.8.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.8.4.3.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$θ = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Paso 6.2.8.4.3.2

Resta $3 π$ de $8 π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Paso 6.2.8.5

Obtén el período de $\cos (θ)$ .

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Paso 6.2.8.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.2.8.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.2.8.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.2.8.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6.2.8.6

El período de la función $\cos (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6.2.9

Enumera todas las soluciones.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6.2.10

Consolida las respuestas.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (\cos (θ) - 1) (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$ verdadera.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Consolida $2 π n$ y $2 π + 2 π n$ en $2 π n$ .

$θ = 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$