Matemática básica Ejemplos

$\frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}} = x - y \sqrt{77}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $x - y \sqrt{77} = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$ .

$x - y \sqrt{77} = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$

Paso 2

Simplifica $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$ .

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$ .

$x - y \sqrt{77} = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$

Paso 2.2

Combina fracciones.

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Paso 2.2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$ .

$x - y \sqrt{77} = \frac{(\sqrt{11} - \sqrt{7}) (\sqrt{11} - \sqrt{7})}{(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} - \sqrt{7})}$

Paso 2.2.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$x - y \sqrt{77} = \frac{(\sqrt{11} - \sqrt{7}) (\sqrt{11} - \sqrt{7})}{{\sqrt{11}}^{2} - \sqrt{77} + \sqrt{77} - {\sqrt{7}}^{2}}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

$x - y \sqrt{77} = \frac{(\sqrt{11} - \sqrt{7}) (\sqrt{11} - \sqrt{7})}{4}$

Paso 2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.1

Eleva $\sqrt{11} - \sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$x - y \sqrt{77} = \frac{{(\sqrt{11} - \sqrt{7})}^{1} (\sqrt{11} - \sqrt{7})}{4}$

Paso 2.3.2

Eleva $\sqrt{11} - \sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$x - y \sqrt{77} = \frac{{(\sqrt{11} - \sqrt{7})}^{1} {(\sqrt{11} - \sqrt{7})}^{1}}{4}$

Paso 2.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x - y \sqrt{77} = \frac{{(\sqrt{11} - \sqrt{7})}^{1 + 1}}{4}$

Paso 2.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$x - y \sqrt{77} = \frac{{(\sqrt{11} - \sqrt{7})}^{2}}{4}$

Paso 2.4

Reescribe ${(\sqrt{11} - \sqrt{7})}^{2}$ como $(\sqrt{11} - \sqrt{7}) (\sqrt{11} - \sqrt{7})$ .

$x - y \sqrt{77} = \frac{(\sqrt{11} - \sqrt{7}) (\sqrt{11} - \sqrt{7})}{4}$

Paso 2.5

Expande $(\sqrt{11} - \sqrt{7}) (\sqrt{11} - \sqrt{7})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x - y \sqrt{77} = \frac{\sqrt{11} (\sqrt{11} - \sqrt{7}) - \sqrt{7} (\sqrt{11} - \sqrt{7})}{4}$

Paso 2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x - y \sqrt{77} = \frac{\sqrt{11} \sqrt{11} + \sqrt{11} (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} (\sqrt{11} - \sqrt{7})}{4}$

Paso 2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x - y \sqrt{77} = \frac{\sqrt{11} \sqrt{11} + \sqrt{11} (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \sqrt{11} - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{4}$

Paso 2.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x - y \sqrt{77} = \frac{\sqrt{11 \cdot 11} + \sqrt{11} (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \sqrt{11} - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{4}$

Paso 2.6.1.2

Multiplica $11$ por $11$ .

$x - y \sqrt{77} = \frac{\sqrt{121} + \sqrt{11} (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \sqrt{11} - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{4}$

Paso 2.6.1.3

Reescribe $121$ como $11^{2}$ .

$x - y \sqrt{77} = \frac{\sqrt{11^{2}} + \sqrt{11} (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \sqrt{11} - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{4}$

Paso 2.6.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x - y \sqrt{77} = \frac{11 + \sqrt{11} (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \sqrt{11} - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{4}$

Paso 2.6.1.5

Multiplica $\sqrt{11} (- \sqrt{7})$ .

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Paso 2.6.1.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x - y \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{11 \cdot 7} - \sqrt{7} \sqrt{11} - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{4}$

Paso 2.6.1.5.2

Multiplica $11$ por $7$ .

$x - y \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{7} \sqrt{11} - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{4}$

Paso 2.6.1.6

Multiplica $- \sqrt{7} \sqrt{11}$ .

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Paso 2.6.1.6.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x - y \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{11 \cdot 7} - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{4}$

Paso 2.6.1.6.2

Multiplica $11$ por $7$ .

$x - y \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{4}$

Paso 2.6.1.7

Multiplica $- \sqrt{7} (- \sqrt{7})$ .

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Paso 2.6.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x - y \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + 1 \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Paso 2.6.1.7.2

Multiplica $\sqrt{7}$ por $1$ .

$x - y \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Paso 2.6.1.7.3

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$x - y \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + {\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}{4}$

Paso 2.6.1.7.4

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$x - y \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + {\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}{4}$

Paso 2.6.1.7.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x - y \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + {\sqrt{7}}^{1 + 1}}{4}$

Paso 2.6.1.7.6

Suma $1$ y $1$ .

$x - y \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + {\sqrt{7}}^{2}}{4}$

Paso 2.6.1.8

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 2.6.1.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x - y \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Paso 2.6.1.8.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - y \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Paso 2.6.1.8.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x - y \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + 7^{\frac{2}{2}}}{4}$

Paso 2.6.1.8.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.6.1.8.4.1

Cancela el factor común.

$x - y \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + 7^{\frac{2}{2}}}{4}$

Paso 2.6.1.8.4.2

Reescribe la expresión.

$x - y \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + 7^{1}}{4}$

Paso 2.6.1.8.5

Evalúa el exponente.

$x - y \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + 7}{4}$

Paso 2.6.2

Suma $11$ y $7$ .

$x - y \sqrt{77} = \frac{18 - \sqrt{77} - \sqrt{77}}{4}$

Paso 2.6.3

Resta $\sqrt{77}$ de $- \sqrt{77}$ .

$x - y \sqrt{77} = \frac{18 - 2 \sqrt{77}}{4}$

Paso 2.7

Cancela el factor común de $18 - 2 \sqrt{77}$ y $4$ .

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Paso 2.7.1

Factoriza $2$ de $18$ .

$x - y \sqrt{77} = \frac{2 (9) - 2 \sqrt{77}}{4}$

Paso 2.7.2

Factoriza $2$ de $- 2 \sqrt{77}$ .

$x - y \sqrt{77} = \frac{2 (9) + 2 (- \sqrt{77})}{4}$

Paso 2.7.3

Factoriza $2$ de $2 (9) + 2 (- \sqrt{77})$ .

$x - y \sqrt{77} = \frac{2 (9 - \sqrt{77})}{4}$

Paso 2.7.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.7.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x - y \sqrt{77} = \frac{2 (9 - \sqrt{77})}{2 \cdot 2}$

Paso 2.7.4.2

Cancela el factor común.

$x - y \sqrt{77} = \frac{2 (9 - \sqrt{77})}{2 \cdot 2}$

Paso 2.7.4.3

Reescribe la expresión.

$x - y \sqrt{77} = \frac{9 - \sqrt{77}}{2}$

Paso 3

Suma $y \sqrt{77}$ a ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{9 - \sqrt{77}}{2} + y \sqrt{77}$