Matemática básica Ejemplos

$\frac{6 + i}{2 + i}$

Paso 1

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{6 + i}{2 + 1 i}$ por el conjugado de $2 + 1 i$ para hacer real el denominador.

$\frac{6 + i}{2 + 1 i} \cdot \frac{2 - i}{2 - i}$

Paso 2

Multiplica.

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Paso 2.1

Combinar.

$\frac{(6 + i) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1

Expande $(6 + i) (2 - i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 (2 - i) + i (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 \cdot 2 + 6 (- i) + i (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 \cdot 2 + 6 (- i) + i \cdot 2 + i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12 + 6 (- i) + i \cdot 2 + i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{12 - 6 i + i \cdot 2 + i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.2.1.3

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$\frac{12 - 6 i + 2 \cdot i + i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.2.1.4

Multiplica $i (- i)$ .

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Paso 2.2.2.1.4.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{12 - 6 i + 2 i - (i^{1} i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.2.1.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{12 - 6 i + 2 i - (i^{1} i^{1})}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.2.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{12 - 6 i + 2 i - i^{1 + 1}}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.2.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{12 - 6 i + 2 i - i^{2}}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.2.1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{12 - 6 i + 2 i - - 1}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{12 - 6 i + 2 i + 1}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.2.2

Suma $12$ y $1$ .

$\frac{13 - 6 i + 2 i}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.2.3

Suma $- 6 i$ y $2 i$ .

$\frac{13 - 4 i}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 2.3.1

Expande $(2 + 1 i) (2 - i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{13 - 4 i}{2 (2 - i) + 1 i (2 - i)}$

Paso 2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{13 - 4 i}{2 \cdot 2 + 2 (- i) + 1 i (2 - i)}$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{13 - 4 i}{2 \cdot 2 + 2 (- i) + 1 i \cdot 2 + 1 i (- i)}$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{13 - 4 i}{4 + 2 (- i) + 1 i \cdot 2 + 1 i (- i)}$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{13 - 4 i}{4 - 2 i + 1 i \cdot 2 + 1 i (- i)}$

Paso 2.3.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{13 - 4 i}{4 - 2 i + 2 i + 1 i (- i)}$

Paso 2.3.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{13 - 4 i}{4 - 2 i + 2 i - i i}$

Paso 2.3.2.5

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{13 - 4 i}{4 - 2 i + 2 i - (i^{1} i)}$

Paso 2.3.2.6

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{13 - 4 i}{4 - 2 i + 2 i - (i^{1} i^{1})}$

Paso 2.3.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{13 - 4 i}{4 - 2 i + 2 i - i^{1 + 1}}$

Paso 2.3.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{13 - 4 i}{4 - 2 i + 2 i - i^{2}}$

Paso 2.3.2.9

Suma $- 2 i$ y $2 i$ .

$\frac{13 - 4 i}{4 + 0 - i^{2}}$

Paso 2.3.2.10

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{13 - 4 i}{4 - i^{2}}$

Paso 2.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{13 - 4 i}{4 - - 1}$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{13 - 4 i}{4 + 1}$

Paso 2.3.4

Suma $4$ y $1$ .

$\frac{13 - 4 i}{5}$

Paso 3

Divide la fracción $\frac{13 - 4 i}{5}$ en dos fracciones.

$\frac{13}{5} + \frac{- 4 i}{5}$

Paso 4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{13}{5} - \frac{4 i}{5}$