Matemática básica Ejemplos

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{{(y - 8)}^{2}}{64} = 1$

Paso 1

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{{(y - 8)}^{2}}{64} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 8$

$b = \sqrt{2}$

$k = 8$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 8)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(8)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{64 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{64 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{64 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{64 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{64 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{64 - 2^{1}}$

Paso 5.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{64 - 1 \cdot 2}$

Paso 5.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\sqrt{64 - 2}$

Paso 5.3.3.2

Resta $2$ de $64$ .

$\sqrt{62}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 8 + 8)$

Paso 6.3

Simplifica.

$(0, 16)$

Paso 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 8 - (8))$

Paso 6.6

Simplifica.

$(0, 0)$

Paso 6.7

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 16)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 16)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 0)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 8 + \sqrt{62})$

Paso 7.3

El primer foco de una elipse puede obtenerse al restar $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 8 - (\sqrt{62}))$

Paso 7.5

Simplifica.

$(0, 8 - \sqrt{62})$

Paso 7.6

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(0, 8 + \sqrt{62})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 8 - \sqrt{62})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 8 + \sqrt{62})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 8 - \sqrt{62})$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(8)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}}{8}$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{64 - {\sqrt{2}}^{2}}}{8}$

Paso 8.3.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 8.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{64 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{8}$

Paso 8.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{64 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{8}$

Paso 8.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{64 - 2^{\frac{2}{2}}}}{8}$

Paso 8.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{64 - 2^{\frac{2}{2}}}}{8}$

Paso 8.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{64 - 2^{1}}}{8}$

Paso 8.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{64 - 1 \cdot 2}}{8}$

Paso 8.3.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{64 - 2}}{8}$

Paso 8.3.4

Resta $2$ de $64$ .

$\frac{\sqrt{62}}{8}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(0, 8)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 16)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 8 + \sqrt{62})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 8 - \sqrt{62})$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{62}}{8}$

Paso 10