Matemática básica Ejemplos

$\frac{4 y^{2} + 8 y - 252}{y^{2} - 9 y + 14} \div \frac{5 y^{2} + 48 y + 27}{15 y^{2} - 21 y - 18}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{4 y^{2} + 8 y - 252}{y^{2} - 9 y + 14} \cdot \frac{15 y^{2} - 21 y - 18}{5 y^{2} + 48 y + 27}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Factoriza $4$ de $4 y^{2} + 8 y - 252$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $4$ de $4 y^{2}$ .

$\frac{4 (y^{2}) + 8 y - 252}{y^{2} - 9 y + 14} \cdot \frac{15 y^{2} - 21 y - 18}{5 y^{2} + 48 y + 27}$

Paso 2.1.2

Factoriza $4$ de $8 y$ .

$\frac{4 (y^{2}) + 4 (2 y) - 252}{y^{2} - 9 y + 14} \cdot \frac{15 y^{2} - 21 y - 18}{5 y^{2} + 48 y + 27}$

Paso 2.1.3

Factoriza $4$ de $- 252$ .

$\frac{4 y^{2} + 4 (2 y) + 4 \cdot - 63}{y^{2} - 9 y + 14} \cdot \frac{15 y^{2} - 21 y - 18}{5 y^{2} + 48 y + 27}$

Paso 2.1.4

Factoriza $4$ de $4 y^{2} + 4 (2 y)$ .

$\frac{4 (y^{2} + 2 y) + 4 \cdot - 63}{y^{2} - 9 y + 14} \cdot \frac{15 y^{2} - 21 y - 18}{5 y^{2} + 48 y + 27}$

Paso 2.1.5

Factoriza $4$ de $4 (y^{2} + 2 y) + 4 \cdot - 63$ .

$\frac{4 (y^{2} + 2 y - 63)}{y^{2} - 9 y + 14} \cdot \frac{15 y^{2} - 21 y - 18}{5 y^{2} + 48 y + 27}$

Paso 2.2

Factoriza $y^{2} + 2 y - 63$ con el método AC.

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Paso 2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 63$ y cuya suma es $2$ .

$- 7, 9$

Paso 2.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{4 ((y - 7) (y + 9))}{y^{2} - 9 y + 14} \cdot \frac{15 y^{2} - 21 y - 18}{5 y^{2} + 48 y + 27}$

$\frac{4 (y - 7) (y + 9)}{y^{2} - 9 y + 14} \cdot \frac{15 y^{2} - 21 y - 18}{5 y^{2} + 48 y + 27}$

Paso 3

Factoriza $y^{2} - 9 y + 14$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $14$ y cuya suma es $- 9$ .

$- 7, - 2$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{4 (y - 7) (y + 9)}{(y - 7) (y - 2)} \cdot \frac{15 y^{2} - 21 y - 18}{5 y^{2} + 48 y + 27}$

Paso 4

Cancela el factor común de $y - 7$ .

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Paso 4.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (y - 7) (y + 9)}{(y - 7) (y - 2)} \cdot \frac{15 y^{2} - 21 y - 18}{5 y^{2} + 48 y + 27}$

Paso 4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 (y + 9)}{y - 2} \cdot \frac{15 y^{2} - 21 y - 18}{5 y^{2} + 48 y + 27}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Factoriza $3$ de $15 y^{2} - 21 y - 18$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $3$ de $15 y^{2}$ .

$\frac{4 (y + 9)}{y - 2} \cdot \frac{3 (5 y^{2}) - 21 y - 18}{5 y^{2} + 48 y + 27}$

Paso 5.1.2

Factoriza $3$ de $- 21 y$ .

$\frac{4 (y + 9)}{y - 2} \cdot \frac{3 (5 y^{2}) + 3 (- 7 y) - 18}{5 y^{2} + 48 y + 27}$

Paso 5.1.3

Factoriza $3$ de $- 18$ .

$\frac{4 (y + 9)}{y - 2} \cdot \frac{3 (5 y^{2}) + 3 (- 7 y) + 3 (- 6)}{5 y^{2} + 48 y + 27}$

Paso 5.1.4

Factoriza $3$ de $3 (5 y^{2}) + 3 (- 7 y)$ .

$\frac{4 (y + 9)}{y - 2} \cdot \frac{3 (5 y^{2} - 7 y) + 3 (- 6)}{5 y^{2} + 48 y + 27}$

Paso 5.1.5

Factoriza $3$ de $3 (5 y^{2} - 7 y) + 3 (- 6)$ .

$\frac{4 (y + 9)}{y - 2} \cdot \frac{3 (5 y^{2} - 7 y - 6)}{5 y^{2} + 48 y + 27}$

Paso 5.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 5 \cdot - 6 = - 30$ y cuya suma es $b = - 7$ .

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Paso 5.2.1.1

Factoriza $- 7$ de $- 7 y$ .

$\frac{4 (y + 9)}{y - 2} \cdot \frac{3 (5 y^{2} - 7 (y) - 6)}{5 y^{2} + 48 y + 27}$

Paso 5.2.1.2

Reescribe $- 7$ como $3$ más $- 10$

$\frac{4 (y + 9)}{y - 2} \cdot \frac{3 (5 y^{2} + (3 - 10) y - 6)}{5 y^{2} + 48 y + 27}$

Paso 5.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (y + 9)}{y - 2} \cdot \frac{3 (5 y^{2} + 3 y - 10 y - 6)}{5 y^{2} + 48 y + 27}$

Paso 5.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{4 (y + 9)}{y - 2} \cdot \frac{3 ((5 y^{2} + 3 y) - 10 y - 6)}{5 y^{2} + 48 y + 27}$

Paso 5.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{4 (y + 9)}{y - 2} \cdot \frac{3 (y (5 y + 3) - 2 (5 y + 3))}{5 y^{2} + 48 y + 27}$

Paso 5.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 y + 3$ .

$\frac{4 (y + 9)}{y - 2} \cdot \frac{3 ((5 y + 3) (y - 2))}{5 y^{2} + 48 y + 27}$

$\frac{4 (y + 9)}{y - 2} \cdot \frac{3 (5 y + 3) (y - 2)}{5 y^{2} + 48 y + 27}$

Paso 6

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 5 \cdot 27 = 135$ y cuya suma es $b = 48$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $48$ de $48 y$ .

$\frac{4 (y + 9)}{y - 2} \cdot \frac{3 (5 y + 3) (y - 2)}{5 y^{2} + 48 (y) + 27}$

Paso 6.1.2

Reescribe $48$ como $3$ más $45$

$\frac{4 (y + 9)}{y - 2} \cdot \frac{3 (5 y + 3) (y - 2)}{5 y^{2} + (3 + 45) y + 27}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (y + 9)}{y - 2} \cdot \frac{3 (5 y + 3) (y - 2)}{5 y^{2} + 3 y + 45 y + 27}$

Paso 6.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{4 (y + 9)}{y - 2} \cdot \frac{3 (5 y + 3) (y - 2)}{(5 y^{2} + 3 y) + 45 y + 27}$

Paso 6.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{4 (y + 9)}{y - 2} \cdot \frac{3 (5 y + 3) (y - 2)}{y (5 y + 3) + 9 (5 y + 3)}$

Paso 6.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 y + 3$ .

$\frac{4 (y + 9)}{y - 2} \cdot \frac{3 (5 y + 3) (y - 2)}{(5 y + 3) (y + 9)}$

Paso 7

Cancela el factor común de $y + 9$ .

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Paso 7.1

Factoriza $y + 9$ de $4 (y + 9)$ .

$\frac{(y + 9) \cdot 4}{y - 2} \cdot \frac{3 (5 y + 3) (y - 2)}{(5 y + 3) (y + 9)}$

Paso 7.2

Factoriza $y + 9$ de $(5 y + 3) (y + 9)$ .

$\frac{(y + 9) \cdot 4}{y - 2} \cdot \frac{3 (5 y + 3) (y - 2)}{(y + 9) (5 y + 3)}$

Paso 7.3

Cancela el factor común.

$\frac{(y + 9) \cdot 4}{y - 2} \cdot \frac{3 (5 y + 3) (y - 2)}{(y + 9) (5 y + 3)}$

Paso 7.4

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{y - 2} \cdot \frac{3 (5 y + 3) (y - 2)}{5 y + 3}$

Paso 8

Cancela el factor común de $y - 2$ .

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Paso 8.1

Factoriza $y - 2$ de $3 (5 y + 3) (y - 2)$ .

$\frac{4}{y - 2} \cdot \frac{(y - 2) (3 (5 y + 3))}{5 y + 3}$

Paso 8.2

Cancela el factor común.

$\frac{4}{y - 2} \cdot \frac{(y - 2) (3 (5 y + 3))}{5 y + 3}$

Paso 8.3

Reescribe la expresión.

$4 \frac{3 (5 y + 3)}{5 y + 3}$

Paso 9

Combina $4$ y $\frac{3 (5 y + 3)}{5 y + 3}$ .

$\frac{4 (3 (5 y + 3))}{5 y + 3}$

Paso 10

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{12 (5 y + 3)}{5 y + 3}$

Paso 11

Cancela el factor común de $5 y + 3$ .

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Paso 11.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 (5 y + 3)}{5 y + 3}$

Paso 11.2

Divide $12$ por $1$ .

$12$