Matemática básica Ejemplos

$\frac{5 \sqrt{c} + 2}{3 + \sqrt{c}}$

Paso 1

Multiplica $\frac{5 \sqrt{c} + 2}{3 + \sqrt{c}}$ por $\frac{3 - \sqrt{c}}{3 - \sqrt{c}}$ .

$\frac{5 \sqrt{c} + 2}{3 + \sqrt{c}} \cdot \frac{3 - \sqrt{c}}{3 - \sqrt{c}}$

Paso 2

Combina fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{5 \sqrt{c} + 2}{3 + \sqrt{c}}$ por $\frac{3 - \sqrt{c}}{3 - \sqrt{c}}$ .

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{(3 + \sqrt{c}) (3 - \sqrt{c})}$

Paso 2.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{9 - 3 \sqrt{c} + \sqrt{c} \cdot 3 - {\sqrt{c}}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{c}$ como $c^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{9 - {(c^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{9 - c^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{9 - c^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{9 - c^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{9 - c^{1}}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{9 - c}$

Paso 3

Expande $(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 \sqrt{c} (3 - \sqrt{c}) + 2 (3 - \sqrt{c})}{9 - c}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 \sqrt{c} \cdot 3 + 5 \sqrt{c} (- \sqrt{c}) + 2 (3 - \sqrt{c})}{9 - c}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 \sqrt{c} \cdot 3 + 5 \sqrt{c} (- \sqrt{c}) + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Paso 4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{15 \sqrt{c} + 5 \sqrt{c} (- \sqrt{c}) + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Paso 4.1.2

Multiplica $5 \sqrt{c} (- \sqrt{c})$ .

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 \sqrt{c} \sqrt{c} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Paso 4.1.2.2

Eleva $\sqrt{c}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 ({\sqrt{c}}^{1} \sqrt{c}) + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Paso 4.1.2.3

Eleva $\sqrt{c}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 ({\sqrt{c}}^{1} {\sqrt{c}}^{1}) + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Paso 4.1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 {\sqrt{c}}^{1 + 1} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Paso 4.1.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 {\sqrt{c}}^{2} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Paso 4.1.3

Reescribe ${\sqrt{c}}^{2}$ como $c$ .

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Paso 4.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{c}$ como $c^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Paso 4.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 c^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Paso 4.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 c^{\frac{2}{2}} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Paso 4.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 c^{\frac{2}{2}} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Paso 4.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 c^{1} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Paso 4.1.3.5

Simplifica.

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 c + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Paso 4.1.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 c + 6 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Paso 4.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 c + 6 - 2 \sqrt{c}}{9 - c}$

Paso 4.2

Resta $2 \sqrt{c}$ de $15 \sqrt{c}$ .

$\frac{- 5 c + 6 + 13 \sqrt{c}}{9 - c}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{c}$ como $c^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 5 c + 6 + 13 c^{\frac{1}{2}}}{9 - c}$

Paso 5.2

Reordena los términos.

$\frac{- 5 c + 13 c^{\frac{1}{2}} + 6}{9 - c}$

Paso 5.3

Reescribe $- 5 c + 13 c^{\frac{1}{2}} + 6$ en forma factorizada.

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Paso 5.3.1

Reescribe $c$ como ${(c^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{- 5 {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} + 13 c^{\frac{1}{2}} + 6}{9 - c}$

Paso 5.3.2

Sea $u = c^{\frac{1}{2}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $c^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 5 u^{2} + 13 u + 6}{9 - c}$

Paso 5.3.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.3.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 5 \cdot 6 = - 30$ y cuya suma es $b = 13$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Factoriza $13$ de $13 u$ .

$\frac{- 5 u^{2} + 13 (u) + 6}{9 - c}$

Paso 5.3.3.1.2

Reescribe $13$ como $- 2$ más $15$

$\frac{- 5 u^{2} + (- 2 + 15) u + 6}{9 - c}$

Paso 5.3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 5 u^{2} - 2 u + 15 u + 6}{9 - c}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.3.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- 5 u^{2} - 2 u) + 15 u + 6}{9 - c}$

Paso 5.3.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{u (- 5 u - 2) - 3 (- 5 u - 2)}{9 - c}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 5 u - 2$ .

$\frac{(- 5 u - 2) (u - 3)}{9 - c}$

Paso 5.3.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $c^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(- 5 c^{\frac{1}{2}} - 2) (c^{\frac{1}{2}} - 3)}{9 - c}$

Paso 5.3.5

Factoriza $- 1$ de $- 5 c^{\frac{1}{2}} - 2$ .

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Paso 5.3.5.1

Factoriza $- 1$ de $- 5 c^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(- (5 c^{\frac{1}{2}}) - 2) (c^{\frac{1}{2}} - 3)}{9 - c}$

Paso 5.3.5.2

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{(- (5 c^{\frac{1}{2}}) - 1 (2)) (c^{\frac{1}{2}} - 3)}{9 - c}$

Paso 5.3.5.3

Factoriza $- 1$ de $- (5 c^{\frac{1}{2}}) - 1 (2)$ .

$\frac{- (5 c^{\frac{1}{2}} + 2) (c^{\frac{1}{2}} - 3)}{9 - c}$

Paso 6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(5 c^{\frac{1}{2}} + 2) (c^{\frac{1}{2}} - 3)}{9 - c}$