Matemática básica Ejemplos

$\frac{z^{2} - 4}{z^{2} + 2 z - 35} \div \frac{z^{2} + 2 z}{z^{2} - 10 z + 25}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{z^{2} - 4}{z^{2} + 2 z - 35} \cdot \frac{z^{2} - 10 z + 25}{z^{2} + 2 z}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{z^{2} - 2^{2}}{z^{2} + 2 z - 35} \cdot \frac{z^{2} - 10 z + 25}{z^{2} + 2 z}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = z$ y $b = 2$ .

$\frac{(z + 2) (z - 2)}{z^{2} + 2 z - 35} \cdot \frac{z^{2} - 10 z + 25}{z^{2} + 2 z}$

Paso 3

Factoriza $z^{2} + 2 z - 35$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 35$ y cuya suma es $2$ .

$- 5, 7$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(z + 2) (z - 2)}{(z - 5) (z + 7)} \cdot \frac{z^{2} - 10 z + 25}{z^{2} + 2 z}$

Paso 4

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{(z + 2) (z - 2)}{(z - 5) (z + 7)} \cdot \frac{z^{2} - 10 z + 5^{2}}{z^{2} + 2 z}$

Paso 4.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$10 z = 2 \cdot z \cdot 5$

Paso 4.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{(z + 2) (z - 2)}{(z - 5) (z + 7)} \cdot \frac{z^{2} - 2 \cdot z \cdot 5 + 5^{2}}{z^{2} + 2 z}$

Paso 4.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = z$ y $b = 5$ .

$\frac{(z + 2) (z - 2)}{(z - 5) (z + 7)} \cdot \frac{{(z - 5)}^{2}}{z^{2} + 2 z}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Factoriza $z$ de $z^{2} + 2 z$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $z$ de $z^{2}$ .

$\frac{(z + 2) (z - 2)}{(z - 5) (z + 7)} \cdot \frac{{(z - 5)}^{2}}{z \cdot z + 2 z}$

Paso 5.1.2

Factoriza $z$ de $2 z$ .

$\frac{(z + 2) (z - 2)}{(z - 5) (z + 7)} \cdot \frac{{(z - 5)}^{2}}{z \cdot z + z \cdot 2}$

Paso 5.1.3

Factoriza $z$ de $z \cdot z + z \cdot 2$ .

$\frac{(z + 2) (z - 2)}{(z - 5) (z + 7)} \cdot \frac{{(z - 5)}^{2}}{z (z + 2)}$

Paso 5.2

Combinar.

$\frac{(z + 2) (z - 2) {(z - 5)}^{2}}{(z - 5) (z + 7) (z (z + 2))}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $z + 2$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(z + 2) (z - 2) {(z - 5)}^{2}}{(z - 5) (z + 7) (z (z + 2))}$

Paso 5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(z - 2) {(z - 5)}^{2}}{(z - 5) (z + 7) (z)}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de ${(z - 5)}^{2}$ y $z - 5$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $z - 5$ de $(z - 2) {(z - 5)}^{2}$ .

$\frac{(z - 5) ((z - 2) (z - 5))}{(z - 5) (z + 7) (z)}$

Paso 5.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.2.1

Factoriza $z - 5$ de $(z - 5) (z + 7) (z)$ .

$\frac{(z - 5) ((z - 2) (z - 5))}{(z - 5) ((z + 7) (z))}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(z - 5) ((z - 2) (z - 5))}{(z - 5) ((z + 7) (z))}$

Paso 5.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(z - 2) (z - 5)}{(z + 7) (z)}$

Paso 5.5

Reordena los factores en $\frac{(z - 2) (z - 5)}{(z + 7) (z)}$ .

$\frac{(z - 2) (z - 5)}{z (z + 7)}$