Matemática básica Ejemplos

$\frac{y^{2} - 7 y + 6}{- 4 y^{2} + 8 y - 4}$

Paso 1

Factoriza $y^{2} - 7 y + 6$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 6, - 1$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(y - 6) (y - 1)}{- 4 y^{2} + 8 y - 4}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Factoriza $4$ de $- 4 y^{2} + 8 y - 4$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $4$ de $- 4 y^{2}$ .

$\frac{(y - 6) (y - 1)}{4 (- y^{2}) + 8 y - 4}$

Paso 2.1.2

Factoriza $4$ de $8 y$ .

$\frac{(y - 6) (y - 1)}{4 (- y^{2}) + 4 (2 y) - 4}$

Paso 2.1.3

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\frac{(y - 6) (y - 1)}{4 (- y^{2}) + 4 (2 y) + 4 (- 1)}$

Paso 2.1.4

Factoriza $4$ de $4 (- y^{2}) + 4 (2 y)$ .

$\frac{(y - 6) (y - 1)}{4 (- y^{2} + 2 y) + 4 (- 1)}$

Paso 2.1.5

Factoriza $4$ de $4 (- y^{2} + 2 y) + 4 (- 1)$ .

$\frac{(y - 6) (y - 1)}{4 (- y^{2} + 2 y - 1)}$

Paso 2.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ y cuya suma es $b = 2$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$\frac{(y - 6) (y - 1)}{4 (- y^{2} + 2 (y) - 1)}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe $2$ como $1$ más $1$

$\frac{(y - 6) (y - 1)}{4 (- y^{2} + (1 + 1) y - 1)}$

Paso 2.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(y - 6) (y - 1)}{4 (- y^{2} + 1 y + 1 y - 1)}$

Paso 2.2.1.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{(y - 6) (y - 1)}{4 (- y^{2} + y + 1 y - 1)}$

Paso 2.2.1.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{(y - 6) (y - 1)}{4 (- y^{2} + y + y - 1)}$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(y - 6) (y - 1)}{4 ((- y^{2} + y) + y - 1)}$

Paso 2.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(y - 6) (y - 1)}{4 (y (- y + 1) - 1 (- y + 1))}$

Paso 2.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- y + 1$ .

$\frac{(y - 6) (y - 1)}{4 ((- y + 1) (y - 1))}$

$\frac{(y - 6) (y - 1)}{4 (- y + 1) (y - 1)}$

Paso 2.3

Combina exponentes.

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Paso 2.3.1

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$\frac{(y - 6) (y - 1)}{4 (- (y) + 1) (y - 1)}$

Paso 2.3.2

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(y - 6) (y - 1)}{4 (- (y) - 1 (- 1)) (y - 1)}$

Paso 2.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (y) - 1 (- 1)$ .

$\frac{(y - 6) (y - 1)}{4 (- (y - 1)) (y - 1)}$

Paso 2.3.4

Reescribe $- (y - 1)$ como $- 1 (y - 1)$ .

$\frac{(y - 6) (y - 1)}{4 (- 1 (y - 1)) (y - 1)}$

Paso 2.3.5

Eleva $y - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(y - 6) (y - 1)}{4 \cdot - 1 ({(y - 1)}^{1} (y - 1))}$

Paso 2.3.6

Eleva $y - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(y - 6) (y - 1)}{4 \cdot - 1 ({(y - 1)}^{1} {(y - 1)}^{1})}$

Paso 2.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(y - 6) (y - 1)}{4 \cdot - 1 {(y - 1)}^{1 + 1}}$

Paso 2.3.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(y - 6) (y - 1)}{4 \cdot - 1 {(y - 1)}^{2}}$

Paso 2.3.9

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{(y - 6) (y - 1)}{- 4 {(y - 1)}^{2}}$

Paso 3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $y - 1$ y ${(y - 1)}^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $y - 1$ de $(y - 6) (y - 1)$ .

$\frac{(y - 1) (y - 6)}{- 4 {(y - 1)}^{2}}$

Paso 3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.1

Factoriza $y - 1$ de $- 4 {(y - 1)}^{2}$ .

$\frac{(y - 1) (y - 6)}{(y - 1) (- 4 (y - 1))}$

Paso 3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(y - 1) (y - 6)}{(y - 1) (- 4 (y - 1))}$

Paso 3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y - 6}{- 4 (y - 1)}$

Paso 3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{y - 6}{4 (y - 1)}$