Matemática básica Ejemplos

$(\sqrt{2} + 9 \sqrt{10}) (2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{10})$

Paso 1

Expande $(\sqrt{2} + 9 \sqrt{10}) (2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{10})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{2} (2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{10})$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{10})$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Paso 2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Multiplica $\sqrt{2} (2 \sqrt{2})$ .

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Paso 2.1.1.1

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Paso 2.1.1.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Paso 2.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Paso 2.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$2 {\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Paso 2.1.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Paso 2.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Paso 2.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Paso 2.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Paso 2.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$2 \cdot 2^{1} + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Paso 2.1.2.5

Evalúa el exponente.

$2 \cdot 2 + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Paso 2.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Paso 2.1.4

Multiplica $\sqrt{2} (- 6 \sqrt{10})$ .

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Paso 2.1.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$4 - 6 \sqrt{2 \cdot 10} + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Paso 2.1.4.2

Multiplica $2$ por $10$ .

$4 - 6 \sqrt{20} + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Paso 2.1.5

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 2.1.5.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$4 - 6 \sqrt{4 (5)} + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Paso 2.1.5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$4 - 6 \sqrt{2^{2} \cdot 5} + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Paso 2.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$4 - 6 (2 \sqrt{5}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Paso 2.1.7

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Paso 2.1.8

Multiplica $9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2})$ .

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Paso 2.1.8.1

Multiplica $2$ por $9$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 18 \sqrt{10} \sqrt{2} + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Paso 2.1.8.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$4 - 12 \sqrt{5} + 18 \sqrt{2 \cdot 10} + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Paso 2.1.8.3

Multiplica $2$ por $10$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 18 \sqrt{20} + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Paso 2.1.9

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 2.1.9.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 18 \sqrt{4 (5)} + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Paso 2.1.9.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 18 \sqrt{2^{2} \cdot 5} + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Paso 2.1.10

Retira los términos de abajo del radical.

$4 - 12 \sqrt{5} + 18 (2 \sqrt{5}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Paso 2.1.11

Multiplica $2$ por $18$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Paso 2.1.12

Multiplica $9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$ .

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Paso 2.1.12.1

Multiplica $- 6$ por $9$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 \sqrt{10} \sqrt{10}$

Paso 2.1.12.2

Eleva $\sqrt{10}$ a la potencia de $1$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 ({\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10})$

Paso 2.1.12.3

Eleva $\sqrt{10}$ a la potencia de $1$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 ({\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1})$

Paso 2.1.12.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 {\sqrt{10}}^{1 + 1}$

Paso 2.1.12.5

Suma $1$ y $1$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 {\sqrt{10}}^{2}$

Paso 2.1.13

Reescribe ${\sqrt{10}}^{2}$ como $10$ .

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Paso 2.1.13.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{10}$ como $10^{\frac{1}{2}}$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 2.1.13.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 2.1.13.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 \cdot 10^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.1.13.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.13.4.1

Cancela el factor común.

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 \cdot 10^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.1.13.4.2

Reescribe la expresión.

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 \cdot 10^{1}$

Paso 2.1.13.5

Evalúa el exponente.

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 \cdot 10$

Paso 2.1.14

Multiplica $- 54$ por $10$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 540$

Paso 2.2

Resta $540$ de $4$ .

$- 536 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5}$

Paso 2.3

Suma $- 12 \sqrt{5}$ y $36 \sqrt{5}$ .

$- 536 + 24 \sqrt{5}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- 536 + 24 \sqrt{5}$

Forma decimal:

$- 482.33436854 \dots$