Matemática básica Ejemplos

$\frac{9 y^{4} + 14 y^{2} - 8}{3 y + 2}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe $y^{4}$ como ${(y^{2})}^{2}$ .

$\frac{9 {(y^{2})}^{2} + 14 y^{2} - 8}{3 y + 2}$

Paso 1.2

Sea $u = y^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $y^{2}$ .

$\frac{9 u^{2} + 14 u - 8}{3 y + 2}$

Paso 1.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 9 \cdot - 8 = - 72$ y cuya suma es $b = 14$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $14$ de $14 u$ .

$\frac{9 u^{2} + 14 (u) - 8}{3 y + 2}$

Paso 1.3.1.2

Reescribe $14$ como $- 4$ más $18$

$\frac{9 u^{2} + (- 4 + 18) u - 8}{3 y + 2}$

Paso 1.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 u^{2} - 4 u + 18 u - 8}{3 y + 2}$

Paso 1.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(9 u^{2} - 4 u) + 18 u - 8}{3 y + 2}$

Paso 1.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{u (9 u - 4) + 2 (9 u - 4)}{3 y + 2}$

Paso 1.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $9 u - 4$ .

$\frac{(9 u - 4) (u + 2)}{3 y + 2}$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{2}$ .

$\frac{(9 y^{2} - 4) (y^{2} + 2)}{3 y + 2}$

Paso 1.5

Reescribe $9 y^{2}$ como ${(3 y)}^{2}$ .

$\frac{({(3 y)}^{2} - 4) (y^{2} + 2)}{3 y + 2}$

Paso 1.6

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{({(3 y)}^{2} - 2^{2}) (y^{2} + 2)}{3 y + 2}$

Paso 1.7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3 y$ y $b = 2$ .

$\frac{(3 y + 2) (3 y - 2) (y^{2} + 2)}{3 y + 2}$

Paso 2

Cancela el factor común de $3 y + 2$ .

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Paso 2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(3 y + 2) (3 y - 2) (y^{2} + 2)}{3 y + 2}$

Paso 2.2

Divide $(3 y - 2) (y^{2} + 2)$ por $1$ .

$(3 y - 2) (y^{2} + 2)$

Paso 3

Expande $(3 y - 2) (y^{2} + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y (y^{2} + 2) - 2 (y^{2} + 2)$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y \cdot y^{2} + 3 y \cdot 2 - 2 (y^{2} + 2)$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y \cdot y^{2} + 3 y \cdot 2 - 2 y^{2} - 2 \cdot 2$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.1.1

Mueve $y^{2}$ .

$3 (y^{2} y) + 3 y \cdot 2 - 2 y^{2} - 2 \cdot 2$

Paso 4.1.1.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 4.1.1.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$3 (y^{2} y^{1}) + 3 y \cdot 2 - 2 y^{2} - 2 \cdot 2$

Paso 4.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 y^{2 + 1} + 3 y \cdot 2 - 2 y^{2} - 2 \cdot 2$

Paso 4.1.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$3 y^{3} + 3 y \cdot 2 - 2 y^{2} - 2 \cdot 2$

Paso 4.1.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$3 y^{3} + 6 y - 2 y^{2} - 2 \cdot 2$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$3 y^{3} + 6 y - 2 y^{2} - 4$

Paso 4.2

Mueve $6 y$ .

$3 y^{3} - 2 y^{2} + 6 y - 4$