Matemática básica Ejemplos

$\frac{a^{2} - a - 6}{a^{2} - 81} \div \frac{a^{2} - 7 a - 18}{4 a + 36}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{a^{2} - a - 6}{a^{2} - 81} \cdot \frac{4 a + 36}{a^{2} - 7 a - 18}$

Paso 2

Factoriza $a^{2} - a - 6$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 3, 2$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(a - 3) (a + 2)}{a^{2} - 81} \cdot \frac{4 a + 36}{a^{2} - 7 a - 18}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$\frac{(a - 3) (a + 2)}{a^{2} - 9^{2}} \cdot \frac{4 a + 36}{a^{2} - 7 a - 18}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = a$ y $b = 9$ .

$\frac{(a - 3) (a + 2)}{(a + 9) (a - 9)} \cdot \frac{4 a + 36}{a^{2} - 7 a - 18}$

Paso 4

Factoriza $4$ de $4 a + 36$ .

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Paso 4.1

Factoriza $4$ de $4 a$ .

$\frac{(a - 3) (a + 2)}{(a + 9) (a - 9)} \cdot \frac{4 (a) + 36}{a^{2} - 7 a - 18}$

Paso 4.2

Factoriza $4$ de $36$ .

$\frac{(a - 3) (a + 2)}{(a + 9) (a - 9)} \cdot \frac{4 a + 4 \cdot 9}{a^{2} - 7 a - 18}$

Paso 4.3

Factoriza $4$ de $4 a + 4 \cdot 9$ .

$\frac{(a - 3) (a + 2)}{(a + 9) (a - 9)} \cdot \frac{4 (a + 9)}{a^{2} - 7 a - 18}$

Paso 5

Factoriza $a^{2} - 7 a - 18$ con el método AC.

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Paso 5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 18$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 9, 2$

Paso 5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(a - 3) (a + 2)}{(a + 9) (a - 9)} \cdot \frac{4 (a + 9)}{(a - 9) (a + 2)}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $a + 2$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $a + 2$ de $(a - 3) (a + 2)$ .

$\frac{(a + 2) (a - 3)}{(a + 9) (a - 9)} \cdot \frac{4 (a + 9)}{(a - 9) (a + 2)}$

Paso 6.1.2

Factoriza $a + 2$ de $(a - 9) (a + 2)$ .

$\frac{(a + 2) (a - 3)}{(a + 9) (a - 9)} \cdot \frac{4 (a + 9)}{(a + 2) (a - 9)}$

Paso 6.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{(a + 2) (a - 3)}{(a + 9) (a - 9)} \cdot \frac{4 (a + 9)}{(a + 2) (a - 9)}$

Paso 6.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{a - 3}{(a + 9) (a - 9)} \cdot \frac{4 (a + 9)}{a - 9}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $a + 9$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $a + 9$ de $4 (a + 9)$ .

$\frac{a - 3}{(a + 9) (a - 9)} \cdot \frac{(a + 9) \cdot 4}{a - 9}$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{a - 3}{(a + 9) (a - 9)} \cdot \frac{(a + 9) \cdot 4}{a - 9}$

Paso 6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{a - 3}{a - 9} \cdot \frac{4}{a - 9}$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{a - 3}{a - 9}$ por $\frac{4}{a - 9}$ .

$\frac{(a - 3) \cdot 4}{(a - 9) (a - 9)}$

Paso 7

Eleva $a - 9$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(a - 3) \cdot 4}{{(a - 9)}^{1} (a - 9)}$

Paso 8

Eleva $a - 9$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(a - 3) \cdot 4}{{(a - 9)}^{1} {(a - 9)}^{1}}$

Paso 9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(a - 3) \cdot 4}{{(a - 9)}^{1 + 1}}$

Paso 10

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(a - 3) \cdot 4}{{(a - 9)}^{2}}$

Paso 11

Mueve $4$ a la izquierda de $a - 3$ .

$\frac{4 (a - 3)}{{(a - 9)}^{2}}$