Matemática básica Ejemplos

$\frac{3 - i}{2 + 3 i}$

Paso 1

Multiplica el numerador y el denominador de

$\frac{3 - i}{2 + 3 i}$ por el conjugado de

$2 + 3 i$ para hacer real el denominador.

$\frac{3 - i}{2 + 3 i} \cdot \frac{2 - 3 i}{2 - 3 i}$

Paso 2

Multiplica.

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Paso 2.1

Combinar.

$\frac{(3 - i) (2 - 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Paso 2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1

Expande

$(3 - i) (2 - 3 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (2 - 3 i) - i (2 - 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Paso 2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cdot 2 + 3 (- 3 i) - i (2 - 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Paso 2.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cdot 2 + 3 (- 3 i) - i \cdot 2 - i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Paso 2.2.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica

$3$ por

$2$ .

$\frac{6 + 3 (- 3 i) - i \cdot 2 - i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica

$- 3$ por

$3$ .

$\frac{6 - 9 i - i \cdot 2 - i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Paso 2.2.2.1.3

Multiplica

$2$ por

$- 1$ .

$\frac{6 - 9 i - 2 i - i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Paso 2.2.2.1.4

Multiplica

$- i (- 3 i)$ .

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Paso 2.2.2.1.4.1

Multiplica

$- 3$ por

$- 1$ .

$\frac{6 - 9 i - 2 i + 3 i i}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Paso 2.2.2.1.4.2

Eleva

$i$ a la potencia de

$1$ .

$\frac{6 - 9 i - 2 i + 3 (i^{1} i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Paso 2.2.2.1.4.3

Eleva

$i$ a la potencia de

$1$ .

$\frac{6 - 9 i - 2 i + 3 (i^{1} i^{1})}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Paso 2.2.2.1.4.4

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 - 9 i - 2 i + 3 i^{1 + 1}}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Paso 2.2.2.1.4.5

Suma

$1$ y

$1$ .

$\frac{6 - 9 i - 2 i + 3 i^{2}}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Paso 2.2.2.1.5

Reescribe

$i^{2}$ como

$- 1$ .

$\frac{6 - 9 i - 2 i + 3 \cdot - 1}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Paso 2.2.2.1.6

Multiplica

$3$ por

$- 1$ .

$\frac{6 - 9 i - 2 i - 3}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Paso 2.2.2.2

Resta

$3$ de

$6$ .

$\frac{3 - 9 i - 2 i}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Paso 2.2.2.3

Resta

$2 i$ de

$- 9 i$ .

$\frac{3 - 11 i}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Paso 2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 2.3.1

Expande

$(2 + 3 i) (2 - 3 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 - 11 i}{2 (2 - 3 i) + 3 i (2 - 3 i)}$

Paso 2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 - 11 i}{2 \cdot 2 + 2 (- 3 i) + 3 i (2 - 3 i)}$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 - 11 i}{2 \cdot 2 + 2 (- 3 i) + 3 i \cdot 2 + 3 i (- 3 i)}$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica

$2$ por

$2$ .

$\frac{3 - 11 i}{4 + 2 (- 3 i) + 3 i \cdot 2 + 3 i (- 3 i)}$

Paso 2.3.2.2

Multiplica

$- 3$ por

$2$ .

$\frac{3 - 11 i}{4 - 6 i + 3 i \cdot 2 + 3 i (- 3 i)}$

Paso 2.3.2.3

Multiplica

$2$ por

$3$ .

$\frac{3 - 11 i}{4 - 6 i + 6 i + 3 i (- 3 i)}$

Paso 2.3.2.4

Multiplica

$- 3$ por

$3$ .

$\frac{3 - 11 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 i i}$

Paso 2.3.2.5

Eleva

$i$ a la potencia de

$1$ .

$\frac{3 - 11 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 (i^{1} i)}$

Paso 2.3.2.6

Eleva

$i$ a la potencia de

$1$ .

$\frac{3 - 11 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 (i^{1} i^{1})}$

Paso 2.3.2.7

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 - 11 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 i^{1 + 1}}$

Paso 2.3.2.8

Suma

$1$ y

$1$ .

$\frac{3 - 11 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 i^{2}}$

Paso 2.3.2.9

Suma

$- 6 i$ y

$6 i$ .

$\frac{3 - 11 i}{4 + 0 - 9 i^{2}}$

Paso 2.3.2.10

Suma

$4$ y

$0$ .

$\frac{3 - 11 i}{4 - 9 i^{2}}$

Paso 2.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe

$i^{2}$ como

$- 1$ .

$\frac{3 - 11 i}{4 - 9 \cdot - 1}$

Paso 2.3.3.2

Multiplica

$- 9$ por

$- 1$ .

$\frac{3 - 11 i}{4 + 9}$

Paso 2.3.4

Suma

$4$ y

$9$ .

$\frac{3 - 11 i}{13}$

Paso 3

Divide la fracción

$\frac{3 - 11 i}{13}$ en dos fracciones.

$\frac{3}{13} + \frac{- 11 i}{13}$

Paso 4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3}{13} - \frac{11 i}{13}$