Matemática básica Ejemplos

$\frac{3 + 9 i}{3 - 9 i}$

Paso 1

Cancela el factor común de $3 + 9 i$ y $3 - 9 i$ .

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Paso 1.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 1 + 9 i}{3 - 9 i}$

Paso 1.2

Factoriza $3$ de $9 i$ .

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (3 i)}{3 - 9 i}$

Paso 1.3

Factoriza $3$ de $3 (1) + 3 (3 i)$ .

$\frac{3 (1 + 3 i)}{3 - 9 i}$

Paso 1.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (1 + 3 i)}{3 (1) - 9 i}$

Paso 1.4.2

Factoriza $3$ de $- 9 i$ .

$\frac{3 (1 + 3 i)}{3 (1) + 3 (- 3 i)}$

Paso 1.4.3

Factoriza $3$ de $3 (1) + 3 (- 3 i)$ .

$\frac{3 (1 + 3 i)}{3 (1 - 3 i)}$

Paso 1.4.4

Cancela el factor común.

$\frac{3 (1 + 3 i)}{3 (1 - 3 i)}$

Paso 1.4.5

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + 3 i}{1 - 3 i}$

Paso 2

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{1 + 3 i}{1 - 3 i}$ por el conjugado de $1 - 3 i$ para hacer real el denominador.

$\frac{1 + 3 i}{1 - 3 i} \cdot \frac{1 + 3 i}{1 + 3 i}$

Paso 3

Multiplica.

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Paso 3.1

Combinar.

$\frac{(1 + 3 i) (1 + 3 i)}{(1 - 3 i) (1 + 3 i)}$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1

Expande $(1 + 3 i) (1 + 3 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (1 + 3 i) + 3 i (1 + 3 i)}{(1 - 3 i) (1 + 3 i)}$

Paso 3.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (3 i) + 3 i (1 + 3 i)}{(1 - 3 i) (1 + 3 i)}$

Paso 3.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (3 i) + 3 i \cdot 1 + 3 i (3 i)}{(1 - 3 i) (1 + 3 i)}$

Paso 3.2.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1 + 1 (3 i) + 3 i \cdot 1 + 3 i (3 i)}{(1 - 3 i) (1 + 3 i)}$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $3 i$ por $1$ .

$\frac{1 + 3 i + 3 i \cdot 1 + 3 i (3 i)}{(1 - 3 i) (1 + 3 i)}$

Paso 3.2.2.1.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1 + 3 i + 3 i + 3 i (3 i)}{(1 - 3 i) (1 + 3 i)}$

Paso 3.2.2.1.4

Multiplica $3 i (3 i)$ .

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Paso 3.2.2.1.4.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{1 + 3 i + 3 i + 9 i i}{(1 - 3 i) (1 + 3 i)}$

Paso 3.2.2.1.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + 3 i + 3 i + 9 (i^{1} i)}{(1 - 3 i) (1 + 3 i)}$

Paso 3.2.2.1.4.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + 3 i + 3 i + 9 (i^{1} i^{1})}{(1 - 3 i) (1 + 3 i)}$

Paso 3.2.2.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 + 3 i + 3 i + 9 i^{1 + 1}}{(1 - 3 i) (1 + 3 i)}$

Paso 3.2.2.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1 + 3 i + 3 i + 9 i^{2}}{(1 - 3 i) (1 + 3 i)}$

Paso 3.2.2.1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{1 + 3 i + 3 i + 9 \cdot - 1}{(1 - 3 i) (1 + 3 i)}$

Paso 3.2.2.1.6

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{1 + 3 i + 3 i - 9}{(1 - 3 i) (1 + 3 i)}$

Paso 3.2.2.2

Resta $9$ de $1$ .

$\frac{- 8 + 3 i + 3 i}{(1 - 3 i) (1 + 3 i)}$

Paso 3.2.2.3

Suma $3 i$ y $3 i$ .

$\frac{- 8 + 6 i}{(1 - 3 i) (1 + 3 i)}$

Paso 3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.3.1

Expande $(1 - 3 i) (1 + 3 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 8 + 6 i}{1 (1 + 3 i) - 3 i (1 + 3 i)}$

Paso 3.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 8 + 6 i}{1 \cdot 1 + 1 (3 i) - 3 i (1 + 3 i)}$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 8 + 6 i}{1 \cdot 1 + 1 (3 i) - 3 i \cdot 1 - 3 i (3 i)}$

Paso 3.3.2

Simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{- 8 + 6 i}{1 + 1 (3 i) - 3 i \cdot 1 - 3 i (3 i)}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{- 8 + 6 i}{1 + 3 i - 3 i \cdot 1 - 3 i (3 i)}$

Paso 3.3.2.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{- 8 + 6 i}{1 + 3 i - 3 i - 3 i (3 i)}$

Paso 3.3.2.4

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{- 8 + 6 i}{1 + 3 i - 3 i - 9 i i}$

Paso 3.3.2.5

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 8 + 6 i}{1 + 3 i - 3 i - 9 (i^{1} i)}$

Paso 3.3.2.6

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 8 + 6 i}{1 + 3 i - 3 i - 9 (i^{1} i^{1})}$

Paso 3.3.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 8 + 6 i}{1 + 3 i - 3 i - 9 i^{1 + 1}}$

Paso 3.3.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 8 + 6 i}{1 + 3 i - 3 i - 9 i^{2}}$

Paso 3.3.2.9

Resta $3 i$ de $3 i$ .

$\frac{- 8 + 6 i}{1 + 0 - 9 i^{2}}$

Paso 3.3.2.10

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{- 8 + 6 i}{1 - 9 i^{2}}$

Paso 3.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{- 8 + 6 i}{1 - 9 \cdot - 1}$

Paso 3.3.3.2

Multiplica $- 9$ por $- 1$ .

$\frac{- 8 + 6 i}{1 + 9}$

Paso 3.3.4

Suma $1$ y $9$ .

$\frac{- 8 + 6 i}{10}$

Paso 4

Cancela el factor común de $- 8 + 6 i$ y $10$ .

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Paso 4.1

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$\frac{2 (- 4) + 6 i}{10}$

Paso 4.2

Factoriza $2$ de $6 i$ .

$\frac{2 (- 4) + 2 (3 i)}{10}$

Paso 4.3

Factoriza $2$ de $2 (- 4) + 2 (3 i)$ .

$\frac{2 (- 4 + 3 i)}{10}$

Paso 4.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.4.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$\frac{2 (- 4 + 3 i)}{2 \cdot 5}$

Paso 4.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 4 + 3 i)}{2 \cdot 5}$

Paso 4.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 4 + 3 i}{5}$

Paso 5

Divide la fracción $\frac{- 4 + 3 i}{5}$ en dos fracciones.

$\frac{- 4}{5} + \frac{3 i}{5}$

Paso 6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{5} + \frac{3 i}{5}$