Matemática básica Ejemplos

$5 x^{2} (4 + x)$

Paso 1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2} (4 + x)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2} (4 + x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} (4 + x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 4 + x$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [4 + x] + (4 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]) + (4 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 (x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + (4 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [x] + (4 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 (x^{2} \cdot 1 + (4 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.5

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$5 (x^{2} + (4 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (x^{2} + (4 + x) (2 x))$

Paso 3.7

Mueve $2$ a la izquierda de $4 + x$ .

$5 (x^{2} + 2 \cdot (4 + x) x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (x^{2} + (2 \cdot 4 + 2 x) x)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (x^{2} + 2 \cdot 4 x + 2 x \cdot x)$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{2} + 5 (2 \cdot 4 x) + 5 (2 x \cdot x)$

Paso 4.4

Combina los términos.

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Paso 4.4.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$5 x^{2} + 5 (8 x) + 5 (2 x \cdot x)$

Paso 4.4.2

Multiplica $8$ por $5$ .

$5 x^{2} + 40 x + 5 (2 x \cdot x)$

Paso 4.4.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$5 x^{2} + 40 x + 5 (2 (x^{1} x))$

Paso 4.4.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$5 x^{2} + 40 x + 5 (2 (x^{1} x^{1}))$

Paso 4.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x^{2} + 40 x + 5 (2 x^{1 + 1})$

Paso 4.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$5 x^{2} + 40 x + 5 (2 x^{2})$

Paso 4.4.7

Multiplica $2$ por $5$ .

$5 x^{2} + 40 x + 10 x^{2}$

Paso 4.4.8

Suma $5 x^{2}$ y $10 x^{2}$ .

$15 x^{2} + 40 x$