Matemática básica Ejemplos

$y^{3} - 6 y^{2} + 27 y - 54$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

Paso 3

Sustituye $3$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 3.1

Sustituye $3$ en el polinomio.

$3^{3} - 6 \cdot 3^{2} + 27 \cdot 3 - 54$

Paso 3.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 - 6 \cdot 3^{2} + 27 \cdot 3 - 54$

Paso 3.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$27 - 6 \cdot 9 + 27 \cdot 3 - 54$

Paso 3.4

Multiplica $- 6$ por $9$ .

$27 - 54 + 27 \cdot 3 - 54$

Paso 3.5

Resta $54$ de $27$ .

$- 27 + 27 \cdot 3 - 54$

Paso 3.6

Multiplica $27$ por $3$ .

$- 27 + 81 - 54$

Paso 3.7

Suma $- 27$ y $81$ .

$54 - 54$

Paso 3.8

Resta $54$ de $54$ .

$0$

Paso 4

Como $3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $y - 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{y^{3} - 6 y^{2} + 27 y - 54}{y - 3}$

Paso 5

Divide $y^{3} - 6 y^{2} + 27 y - 54$ por $y - 3$ .

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Paso 5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$y$

$3$

$y^{3}$

$6 y^{2}$

$27 y$

$54$

Paso 5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $y^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $y$ .

					$y^{2}$
	$y$	-	$3$		$y^{3}$	-	$6 y^{2}$	+	$27 y$	-	$54$

Paso 5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$y^{2}$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	-	$6 y^{2}$	+	$27 y$	-	$54$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$

Paso 5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $y^{3} - 3 y^{2}$ .

				$y^{2}$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	-	$6 y^{2}$	+	$27 y$	-	$54$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$

Paso 5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$y^{2}$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	-	$6 y^{2}$	+	$27 y$	-	$54$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$

Paso 5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$y^{2}$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	-	$6 y^{2}$	+	$27 y$	-	$54$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	+	$27 y$

Paso 5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 3 y^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $y$ .

				$y^{2}$	-	$3 y$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	-	$6 y^{2}$	+	$27 y$	-	$54$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	+	$27 y$

Paso 5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$y^{2}$	-	$3 y$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	-	$6 y^{2}$	+	$27 y$	-	$54$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	+	$27 y$
					-	$3 y^{2}$	+	$9 y$

Paso 5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 3 y^{2} + 9 y$ .

				$y^{2}$	-	$3 y$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	-	$6 y^{2}$	+	$27 y$	-	$54$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	+	$27 y$
					+	$3 y^{2}$	-	$9 y$

Paso 5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$y^{2}$	-	$3 y$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	-	$6 y^{2}$	+	$27 y$	-	$54$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	+	$27 y$
					+	$3 y^{2}$	-	$9 y$
							+	$18 y$

Paso 5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$y^{2}$	-	$3 y$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	-	$6 y^{2}$	+	$27 y$	-	$54$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	+	$27 y$
					+	$3 y^{2}$	-	$9 y$
							+	$18 y$	-	$54$

Paso 5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $18 y$ por el término de mayor orden en el divisor $y$ .

				$y^{2}$	-	$3 y$	+	$18$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	-	$6 y^{2}$	+	$27 y$	-	$54$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	+	$27 y$
					+	$3 y^{2}$	-	$9 y$
							+	$18 y$	-	$54$

Paso 5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$y^{2}$	-	$3 y$	+	$18$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	-	$6 y^{2}$	+	$27 y$	-	$54$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	+	$27 y$
					+	$3 y^{2}$	-	$9 y$
							+	$18 y$	-	$54$
							+	$18 y$	-	$54$

Paso 5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $18 y - 54$ .

				$y^{2}$	-	$3 y$	+	$18$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	-	$6 y^{2}$	+	$27 y$	-	$54$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	+	$27 y$
					+	$3 y^{2}$	-	$9 y$
							+	$18 y$	-	$54$
							-	$18 y$	+	$54$

Paso 5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$y^{2}$	-	$3 y$	+	$18$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	-	$6 y^{2}$	+	$27 y$	-	$54$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	+	$27 y$
					+	$3 y^{2}$	-	$9 y$
							+	$18 y$	-	$54$
							-	$18 y$	+	$54$
										$0$

Paso 5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$y^{2} - 3 y + 18$

Paso 6

Escribe $y^{3} - 6 y^{2} + 27 y - 54$ como un conjunto de factores.

$(y - 3) (y^{2} - 3 y + 18)$