Matemática básica Ejemplos

$y^{3} - 11 y - 6$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Paso 3

Sustituye $- 3$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 3.1

Sustituye $- 3$ en el polinomio.

${(- 3)}^{3} - 11 \cdot - 3 - 6$

Paso 3.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$- 27 - 11 \cdot - 3 - 6$

Paso 3.3

Multiplica $- 11$ por $- 3$ .

$- 27 + 33 - 6$

Paso 3.4

Suma $- 27$ y $33$ .

$6 - 6$

Paso 3.5

Resta $6$ de $6$ .

$0$

Paso 4

Como $- 3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $y + 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{y^{3} - 11 y - 6}{y + 3}$

Paso 5

Divide $y^{3} - 11 y - 6$ por $y + 3$ .

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Paso 5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$y$

$3$

$y^{3}$

$0 y^{2}$

$11 y$

$6$

Paso 5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $y^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $y$ .

					$y^{2}$
	$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$

Paso 5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$y^{2}$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			+	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$

Paso 5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $y^{3} + 3 y^{2}$ .

				$y^{2}$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$

Paso 5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$y^{2}$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$

Paso 5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$y^{2}$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	-	$11 y$

Paso 5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 3 y^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $y$ .

				$y^{2}$	-	$3 y$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	-	$11 y$

Paso 5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$y^{2}$	-	$3 y$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	-	$11 y$
					-	$3 y^{2}$	-	$9 y$

Paso 5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 3 y^{2} - 9 y$ .

				$y^{2}$	-	$3 y$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	-	$11 y$
					+	$3 y^{2}$	+	$9 y$

Paso 5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$y^{2}$	-	$3 y$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	-	$11 y$
					+	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$2 y$

Paso 5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$y^{2}$	-	$3 y$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	-	$11 y$
					+	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$2 y$	-	$6$

Paso 5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 y$ por el término de mayor orden en el divisor $y$ .

				$y^{2}$	-	$3 y$	-	$2$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	-	$11 y$
					+	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$2 y$	-	$6$

Paso 5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$y^{2}$	-	$3 y$	-	$2$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	-	$11 y$
					+	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$2 y$	-	$6$
							-	$2 y$	-	$6$

Paso 5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 y - 6$ .

				$y^{2}$	-	$3 y$	-	$2$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	-	$11 y$
					+	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$2 y$	-	$6$
							+	$2 y$	+	$6$

Paso 5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$y^{2}$	-	$3 y$	-	$2$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	-	$11 y$
					+	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$2 y$	-	$6$
							+	$2 y$	+	$6$
										$0$

Paso 5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$y^{2} - 3 y - 2$

Paso 6

Escribe $y^{3} - 11 y - 6$ como un conjunto de factores.

$(y + 3) (y^{2} - 3 y - 2)$