Matemática básica Ejemplos

$2 m^{3} - 38 m - 60$

Paso 1

Factoriza $2$ de $2 m^{3} - 38 m - 60$ .

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Paso 1.1

Factoriza $2$ de $2 m^{3}$ .

$2 (m^{3}) - 38 m - 60$

Paso 1.2

Factoriza $2$ de $- 38 m$ .

$2 (m^{3}) + 2 (- 19 m) - 60$

Paso 1.3

Factoriza $2$ de $- 60$ .

$2 m^{3} + 2 (- 19 m) + 2 \cdot - 30$

Paso 1.4

Factoriza $2$ de $2 m^{3} + 2 (- 19 m)$ .

$2 (m^{3} - 19 m) + 2 \cdot - 30$

Paso 1.5

Factoriza $2$ de $2 (m^{3} - 19 m) + 2 \cdot - 30$ .

$2 (m^{3} - 19 m - 30)$

Paso 2

Factoriza $m^{3} - 19 m - 30$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1$

Paso 2.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

Paso 2.3

Sustituye $- 2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.3.1

Sustituye $- 2$ en el polinomio.

${(- 2)}^{3} - 19 \cdot - 2 - 30$

Paso 2.3.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$- 8 - 19 \cdot - 2 - 30$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 19$ por $- 2$ .

$- 8 + 38 - 30$

Paso 2.3.4

Suma $- 8$ y $38$ .

$30 - 30$

Paso 2.3.5

Resta $30$ de $30$ .

$0$

Paso 2.4

Como $- 2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $m + 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{m^{3} - 19 m - 30}{m + 2}$

Paso 2.5

Divide $m^{3} - 19 m - 30$ por $m + 2$ .

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Paso 2.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$m$

$2$

$m^{3}$

$0 m^{2}$

$19 m$

$30$

Paso 2.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $m^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $m$ .

					$m^{2}$
	$m$	+	$2$		$m^{3}$	+	$0 m^{2}$	-	$19 m$	-	$30$

Paso 2.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$m^{2}$
$m$	+	$2$		$m^{3}$	+	$0 m^{2}$	-	$19 m$	-	$30$
			+	$m^{3}$	+	$2 m^{2}$

Paso 2.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $m^{3} + 2 m^{2}$ .

				$m^{2}$
$m$	+	$2$		$m^{3}$	+	$0 m^{2}$	-	$19 m$	-	$30$
			-	$m^{3}$	-	$2 m^{2}$

Paso 2.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$m^{2}$
$m$	+	$2$		$m^{3}$	+	$0 m^{2}$	-	$19 m$	-	$30$
			-	$m^{3}$	-	$2 m^{2}$
					-	$2 m^{2}$

Paso 2.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$m^{2}$
$m$	+	$2$		$m^{3}$	+	$0 m^{2}$	-	$19 m$	-	$30$
			-	$m^{3}$	-	$2 m^{2}$
					-	$2 m^{2}$	-	$19 m$

Paso 2.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 m^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $m$ .

				$m^{2}$	-	$2 m$
$m$	+	$2$		$m^{3}$	+	$0 m^{2}$	-	$19 m$	-	$30$
			-	$m^{3}$	-	$2 m^{2}$
					-	$2 m^{2}$	-	$19 m$

Paso 2.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$m^{2}$	-	$2 m$
$m$	+	$2$		$m^{3}$	+	$0 m^{2}$	-	$19 m$	-	$30$
			-	$m^{3}$	-	$2 m^{2}$
					-	$2 m^{2}$	-	$19 m$
					-	$2 m^{2}$	-	$4 m$

Paso 2.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 m^{2} - 4 m$ .

				$m^{2}$	-	$2 m$
$m$	+	$2$		$m^{3}$	+	$0 m^{2}$	-	$19 m$	-	$30$
			-	$m^{3}$	-	$2 m^{2}$
					-	$2 m^{2}$	-	$19 m$
					+	$2 m^{2}$	+	$4 m$

Paso 2.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$m^{2}$	-	$2 m$
$m$	+	$2$		$m^{3}$	+	$0 m^{2}$	-	$19 m$	-	$30$
			-	$m^{3}$	-	$2 m^{2}$
					-	$2 m^{2}$	-	$19 m$
					+	$2 m^{2}$	+	$4 m$
							-	$15 m$

Paso 2.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$m^{2}$	-	$2 m$
$m$	+	$2$		$m^{3}$	+	$0 m^{2}$	-	$19 m$	-	$30$
			-	$m^{3}$	-	$2 m^{2}$
					-	$2 m^{2}$	-	$19 m$
					+	$2 m^{2}$	+	$4 m$
							-	$15 m$	-	$30$

Paso 2.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 15 m$ por el término de mayor orden en el divisor $m$ .

				$m^{2}$	-	$2 m$	-	$15$
$m$	+	$2$		$m^{3}$	+	$0 m^{2}$	-	$19 m$	-	$30$
			-	$m^{3}$	-	$2 m^{2}$
					-	$2 m^{2}$	-	$19 m$
					+	$2 m^{2}$	+	$4 m$
							-	$15 m$	-	$30$

Paso 2.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$m^{2}$	-	$2 m$	-	$15$
$m$	+	$2$		$m^{3}$	+	$0 m^{2}$	-	$19 m$	-	$30$
			-	$m^{3}$	-	$2 m^{2}$
					-	$2 m^{2}$	-	$19 m$
					+	$2 m^{2}$	+	$4 m$
							-	$15 m$	-	$30$
							-	$15 m$	-	$30$

Paso 2.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 15 m - 30$ .

				$m^{2}$	-	$2 m$	-	$15$
$m$	+	$2$		$m^{3}$	+	$0 m^{2}$	-	$19 m$	-	$30$
			-	$m^{3}$	-	$2 m^{2}$
					-	$2 m^{2}$	-	$19 m$
					+	$2 m^{2}$	+	$4 m$
							-	$15 m$	-	$30$
							+	$15 m$	+	$30$

Paso 2.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$m^{2}$	-	$2 m$	-	$15$
$m$	+	$2$		$m^{3}$	+	$0 m^{2}$	-	$19 m$	-	$30$
			-	$m^{3}$	-	$2 m^{2}$
					-	$2 m^{2}$	-	$19 m$
					+	$2 m^{2}$	+	$4 m$
							-	$15 m$	-	$30$
							+	$15 m$	+	$30$
										$0$

Paso 2.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$m^{2} - 2 m - 15$

Paso 2.6

Escribe $m^{3} - 19 m - 30$ como un conjunto de factores.

$2 ((m + 2) (m^{2} - 2 m - 15))$

Paso 3

Factoriza.

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Paso 3.1

Factoriza $m^{2} - 2 m - 15$ con el método AC.

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Paso 3.1.1

Factoriza $m^{2} - 2 m - 15$ con el método AC.

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Paso 3.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 15$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 5, 3$

Paso 3.1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$2 ((m + 2) ((m - 5) (m + 3)))$

Paso 3.1.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 ((m + 2) (m - 5) (m + 3))$

Paso 3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (m + 2) (m - 5) (m + 3)$