Matemática básica Ejemplos

$4 t^{3} + 3 t^{2} - 5 t - 2$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 2$

Paso 3

Sustituye $1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 3.1

Sustituye $1$ en el polinomio.

$4 \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 - 2$

Paso 3.2

Eleva $1$ a la potencia de $3$ .

$4 \cdot 1 + 3 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 - 2$

Paso 3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + 3 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 - 2$

Paso 3.4

Eleva $1$ a la potencia de $2$ .

$4 + 3 \cdot 1 - 5 \cdot 1 - 2$

Paso 3.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$4 + 3 - 5 \cdot 1 - 2$

Paso 3.6

Suma $4$ y $3$ .

$7 - 5 \cdot 1 - 2$

Paso 3.7

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$7 - 5 - 2$

Paso 3.8

Resta $5$ de $7$ .

$2 - 2$

Paso 3.9

Resta $2$ de $2$ .

$0$

Paso 4

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $t - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{4 t^{3} + 3 t^{2} - 5 t - 2}{t - 1}$

Paso 5

Divide $4 t^{3} + 3 t^{2} - 5 t - 2$ por $t - 1$ .

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Paso 5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$t$

$1$

$4 t^{3}$

$3 t^{2}$

$5 t$

$2$

Paso 5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 t^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $t$ .

					$4 t^{2}$
	$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$

Paso 5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$4 t^{2}$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			+	$4 t^{3}$	-	$4 t^{2}$

Paso 5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 t^{3} - 4 t^{2}$ .

				$4 t^{2}$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$

Paso 5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$4 t^{2}$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$

Paso 5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$4 t^{2}$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$

Paso 5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $7 t^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $t$ .

				$4 t^{2}$	+	$7 t$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$

Paso 5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$4 t^{2}$	+	$7 t$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					+	$7 t^{2}$	-	$7 t$

Paso 5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $7 t^{2} - 7 t$ .

				$4 t^{2}$	+	$7 t$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$

Paso 5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$4 t^{2}$	+	$7 t$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$
							+	$2 t$

Paso 5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$4 t^{2}$	+	$7 t$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$
							+	$2 t$	-	$2$

Paso 5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 t$ por el término de mayor orden en el divisor $t$ .

				$4 t^{2}$	+	$7 t$	+	$2$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$
							+	$2 t$	-	$2$

Paso 5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$4 t^{2}$	+	$7 t$	+	$2$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$
							+	$2 t$	-	$2$
							+	$2 t$	-	$2$

Paso 5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 t - 2$ .

				$4 t^{2}$	+	$7 t$	+	$2$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$
							+	$2 t$	-	$2$
							-	$2 t$	+	$2$

Paso 5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$4 t^{2}$	+	$7 t$	+	$2$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$
							+	$2 t$	-	$2$
							-	$2 t$	+	$2$
										$0$

Paso 5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$4 t^{2} + 7 t + 2$

Paso 6

Escribe $4 t^{3} + 3 t^{2} - 5 t - 2$ como un conjunto de factores.

$(t - 1) (4 t^{2} + 7 t + 2)$