Matemática básica Ejemplos

$\frac{1}{a^{2} - 1} - \frac{a - 1}{a^{2} + 3 a - 4}$

Paso 1

Factoriza $a^{2} + 3 a - 4$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $3$ .

$- 1, 4$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{1}{a^{2} - 1} - \frac{a - 1}{(a - 1) (a + 4)}$

Paso 2

Cancela el factor común de $a - 1$ .

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Paso 2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{a^{2} - 1} - \frac{a - 1}{(a - 1) (a + 4)}$

Paso 2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a + 4}$

Paso 3

Para escribir $\frac{1}{a^{2} - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a + 4}{a + 4}$ .

$\frac{1}{a^{2} - 1} \cdot \frac{a + 4}{a + 4} - \frac{1}{a + 4}$

Paso 4

Para escribir $- \frac{1}{a + 4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{a^{2} - 1} \cdot \frac{a + 4}{a + 4} - \frac{1}{a + 4} \cdot \frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Paso 5

Escribe cada expresión con un denominador común de $(a^{2} - 1) (a + 4)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{1}{a^{2} - 1}$ por $\frac{a + 4}{a + 4}$ .

$\frac{a + 4}{(a^{2} - 1) (a + 4)} - \frac{1}{a + 4} \cdot \frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{1}{a + 4}$ por $\frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$ .

$\frac{a + 4}{(a^{2} - 1) (a + 4)} - \frac{a^{2} - 1}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Paso 5.3

Reordena los factores de $(a^{2} - 1) (a + 4)$ .

$\frac{a + 4}{(a + 4) (a^{2} - 1)} - \frac{a^{2} - 1}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{a + 4 - (a^{2} - 1)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Paso 7

Reescribe $\frac{a + 4 - (a^{2} - 1)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$ en forma factorizada.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a + 4 - a^{2} - - 1}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Paso 7.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{a + 4 - a^{2} + 1}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Paso 7.3

Suma $4$ y $1$ .

$\frac{a - a^{2} + 5}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Paso 7.4

Reordena los términos.

$\frac{- a^{2} + a + 5}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Paso 7.5

Factoriza $- 1$ de $- a^{2} + a + 5$ .

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Paso 7.5.1

Factoriza $- 1$ de $- a^{2}$ .

$\frac{- (a^{2}) + a + 5}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Paso 7.5.2

Factoriza $- 1$ de $a$ .

$\frac{- (a^{2}) - 1 (- a) + 5}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Paso 7.5.3

Reescribe $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$\frac{- (a^{2}) - 1 (- a) - 1 (- 5)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Paso 7.5.4

Factoriza $- 1$ de $- (a^{2}) - 1 (- a)$ .

$\frac{- (a^{2} - a) - 1 (- 5)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Paso 7.5.5

Factoriza $- 1$ de $- (a^{2} - a) - 1 (- 5)$ .

$\frac{- (a^{2} - a - 5)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Paso 7.6

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{- (a^{2} - a - 5)}{(a + 4) (a^{2} - 1^{2})}$

Paso 7.7

Factoriza.

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Paso 7.7.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = a$ y $b = 1$ .

$\frac{- (a^{2} - a - 5)}{(a + 4) ((a + 1) (a - 1))}$

Paso 7.7.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{- (a^{2} - a - 5)}{(a + 4) (a + 1) (a - 1)}$