Matemática básica Ejemplos

$n^{2} - \frac{m^{2}}{n^{2} - 2 m n + m^{2}}$

Paso 1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.1

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 m n = 2 \cdot n \cdot m$

Paso 1.2

Reescribe el polinomio.

$n^{2} - \frac{m^{2}}{n^{2} - 2 \cdot n \cdot m + m^{2}}$

Paso 1.3

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = n$ y $b = m$ .

$n^{2} - \frac{m^{2}}{{(n - m)}^{2}}$

Paso 2

Reescribe $n^{2} - \frac{m^{2}}{{(n - m)}^{2}}$ en forma factorizada.

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Paso 2.1

Reescribe $\frac{m^{2}}{{(n - m)}^{2}}$ como ${(\frac{m}{n - m})}^{2}$ .

$n^{2} - {(\frac{m}{n - m})}^{2}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = n$ y $b = \frac{m}{n - m}$ .

$(n + \frac{m}{n - m}) (n - \frac{m}{n - m})$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Para escribir $n$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{n - m}{n - m}$ .

$(\frac{n (n - m)}{n - m} + \frac{m}{n - m}) (n - \frac{m}{n - m})$

Paso 2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{n (n - m) + m}{n - m} (n - \frac{m}{n - m})$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{n (n - m) + m}{n - m}$ en forma factorizada.

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Paso 2.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{n \cdot n + n (- m) + m}{n - m} (n - \frac{m}{n - m})$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $n$ por $n$ .

$\frac{n^{2} + n (- m) + m}{n - m} (n - \frac{m}{n - m})$

Paso 2.3.3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{n^{2} - n m + m}{n - m} (n - \frac{m}{n - m})$

Paso 2.3.4

Para escribir $n$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{n - m}{n - m}$ .

$\frac{n^{2} - n m + m}{n - m} (\frac{n (n - m)}{n - m} - \frac{m}{n - m})$

Paso 2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{n^{2} - n m + m}{n - m} \cdot \frac{n (n - m) - m}{n - m}$

Paso 2.3.6

Reescribe $\frac{n (n - m) - m}{n - m}$ en forma factorizada.

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Paso 2.3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{n^{2} - n m + m}{n - m} \cdot \frac{n \cdot n + n (- m) - m}{n - m}$

Paso 2.3.6.2

Multiplica $n$ por $n$ .

$\frac{n^{2} - n m + m}{n - m} \cdot \frac{n^{2} + n (- m) - m}{n - m}$

Paso 2.3.6.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{n^{2} - n m + m}{n - m} \cdot \frac{n^{2} - n m - m}{n - m}$