Matemática básica Ejemplos

$3 s^{3} + 16 s^{2} + 13 s - 19 \div s + 4$

Paso 1

Reescribe la división como una fracción.

$3 s^{3} + 16 s^{2} + 13 s - \frac{19}{s} + 4$

Paso 2

Para escribir $3 s^{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{s}{s}$ .

$16 s^{2} + 13 s + \frac{3 s^{3} s}{s} - \frac{19}{s} + 4$

Paso 3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$16 s^{2} + 13 s + \frac{3 s^{3} s - 19}{s} + 4$

Paso 4

Multiplica $s^{3}$ por $s$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $s$ .

$16 s^{2} + 13 s + \frac{3 (s \cdot s^{3}) - 19}{s} + 4$

Paso 4.2

Multiplica $s$ por $s^{3}$ .

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Paso 4.2.1

Eleva $s$ a la potencia de $1$ .

$16 s^{2} + 13 s + \frac{3 (s^{1} s^{3}) - 19}{s} + 4$

Paso 4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$16 s^{2} + 13 s + \frac{3 s^{1 + 3} - 19}{s} + 4$

Paso 4.3

Suma $1$ y $3$ .

$16 s^{2} + 13 s + \frac{3 s^{4} - 19}{s} + 4$

Paso 5

Para escribir $16 s^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{s}{s}$ .

$13 s + \frac{16 s^{2} s}{s} + \frac{3 s^{4} - 19}{s} + 4$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$13 s + \frac{16 s^{2} s + 3 s^{4} - 19}{s} + 4$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $s^{2}$ por $s$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1.1

Mueve $s$ .

$13 s + \frac{16 (s \cdot s^{2}) + 3 s^{4} - 19}{s} + 4$

Paso 7.1.2

Multiplica $s$ por $s^{2}$ .

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Paso 7.1.2.1

Eleva $s$ a la potencia de $1$ .

$13 s + \frac{16 (s^{1} s^{2}) + 3 s^{4} - 19}{s} + 4$

Paso 7.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$13 s + \frac{16 s^{1 + 2} + 3 s^{4} - 19}{s} + 4$

Paso 7.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$13 s + \frac{16 s^{3} + 3 s^{4} - 19}{s} + 4$

Paso 7.2

Reordena los términos.

$13 s + \frac{3 s^{4} + 16 s^{3} - 19}{s} + 4$

Paso 7.3

Factoriza $3 s^{4} + 16 s^{3} - 19$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 7.3.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 19$

$q = \pm 1, \pm 3$

Paso 7.3.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 19, \pm 6.\overline{3}$

Paso 7.3.3

Sustituye $1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 7.3.3.1

Sustituye $1$ en el polinomio.

$3 \cdot 1^{4} + 16 \cdot 1^{3} - 19$

Paso 7.3.3.2

Eleva $1$ a la potencia de $4$ .

$3 \cdot 1 + 16 \cdot 1^{3} - 19$

Paso 7.3.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + 16 \cdot 1^{3} - 19$

Paso 7.3.3.4

Eleva $1$ a la potencia de $3$ .

$3 + 16 \cdot 1 - 19$

Paso 7.3.3.5

Multiplica $16$ por $1$ .

$3 + 16 - 19$

Paso 7.3.3.6

Suma $3$ y $16$ .

$19 - 19$

Paso 7.3.3.7

Resta $19$ de $19$ .

$0$

Paso 7.3.4

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $s - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{3 s^{4} + 16 s^{3} - 19}{s - 1}$

Paso 7.3.5

Divide $3 s^{4} + 16 s^{3} - 19$ por $s - 1$ .

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Paso 7.3.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

Paso 7.3.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 s^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $s$ .

$3 s^{3}$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

Paso 7.3.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$3 s^{3}$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

Paso 7.3.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 s^{4} - 3 s^{3}$ .

$3 s^{3}$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

Paso 7.3.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$3 s^{3}$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

Paso 7.3.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$3 s^{3}$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

$0 s^{2}$

Paso 7.3.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $19 s^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $s$ .

$3 s^{3}$

$19 s^{2}$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

$0 s^{2}$

Paso 7.3.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$3 s^{3}$

$19 s^{2}$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

$0 s^{2}$

$19 s^{3}$

$19 s^{2}$

Paso 7.3.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $19 s^{3} - 19 s^{2}$ .

$3 s^{3}$

$19 s^{2}$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

$0 s^{2}$

$19 s^{3}$

$19 s^{2}$

Paso 7.3.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$3 s^{3}$

$19 s^{2}$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

$0 s^{2}$

$19 s^{3}$

$19 s^{2}$

Paso 7.3.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$3 s^{3}$

$19 s^{2}$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

$0 s^{2}$

$19 s^{3}$

$19 s^{2}$

$0 s$

Paso 7.3.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $19 s^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $s$ .

$3 s^{3}$

$19 s^{2}$

$19 s$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

$0 s^{2}$

$19 s^{3}$

$19 s^{2}$

$0 s$

Paso 7.3.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$3 s^{3}$

$19 s^{2}$

$19 s$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

$0 s^{2}$

$19 s^{3}$

$19 s^{2}$

$0 s$

$19 s^{2}$

$19 s$

Paso 7.3.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $19 s^{2} - 19 s$ .

$3 s^{3}$

$19 s^{2}$

$19 s$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

$0 s^{2}$

$19 s^{3}$

$19 s^{2}$

$0 s$

$19 s^{2}$

$19 s$

Paso 7.3.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$3 s^{3}$

$19 s^{2}$

$19 s$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

$0 s^{2}$

$19 s^{3}$

$19 s^{2}$

$0 s$

$19 s^{2}$

$19 s$

Paso 7.3.5.16

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$3 s^{3}$

$19 s^{2}$

$19 s$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

$0 s^{2}$

$19 s^{3}$

$19 s^{2}$

$0 s$

$19 s^{2}$

$19 s$

$19$

Paso 7.3.5.17

Divide el término de mayor orden en el dividendo $19 s$ por el término de mayor orden en el divisor $s$ .

$3 s^{3}$

$19 s^{2}$

$19 s$

$19$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

$0 s^{2}$

$19 s^{3}$

$19 s^{2}$

$0 s$

$19 s^{2}$

$19 s$

$19$

Paso 7.3.5.18

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$3 s^{3}$

$19 s^{2}$

$19 s$

$19$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

$0 s^{2}$

$19 s^{3}$

$19 s^{2}$

$0 s$

$19 s^{2}$

$19 s$

$19$

$19 s$

$19$

Paso 7.3.5.19

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $19 s - 19$ .

$3 s^{3}$

$19 s^{2}$

$19 s$

$19$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

$0 s^{2}$

$19 s^{3}$

$19 s^{2}$

$0 s$

$19 s^{2}$

$19 s$

$19$

$19 s$

$19$

Paso 7.3.5.20

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$3 s^{3}$

$19 s^{2}$

$19 s$

$19$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

$0 s^{2}$

$19 s^{3}$

$19 s^{2}$

$0 s$

$19 s^{2}$

$19 s$

$19$

$19 s$

$19$

$0$

Paso 7.3.5.21

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$3 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s + 19$

Paso 7.3.6

Escribe $3 s^{4} + 16 s^{3} - 19$ como un conjunto de factores.

$13 s + \frac{(s - 1) (3 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s + 19)}{s} + 4$

Paso 8

Obtén el denominador común

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Paso 8.1

Escribe $13 s$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{13 s}{1} + \frac{(s - 1) (3 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s + 19)}{s} + 4$

Paso 8.2

Multiplica $\frac{13 s}{1}$ por $\frac{s}{s}$ .

$\frac{13 s}{1} \cdot \frac{s}{s} + \frac{(s - 1) (3 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s + 19)}{s} + 4$

Paso 8.3

Multiplica $\frac{13 s}{1}$ por $\frac{s}{s}$ .

$\frac{13 s \cdot s}{s} + \frac{(s - 1) (3 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s + 19)}{s} + 4$

Paso 8.4

Escribe $4$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{13 s \cdot s}{s} + \frac{(s - 1) (3 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s + 19)}{s} + \frac{4}{1}$

Paso 8.5

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{s}{s}$ .

$\frac{13 s \cdot s}{s} + \frac{(s - 1) (3 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s + 19)}{s} + \frac{4}{1} \cdot \frac{s}{s}$

Paso 8.6

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{s}{s}$ .

$\frac{13 s \cdot s}{s} + \frac{(s - 1) (3 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s + 19)}{s} + \frac{4 s}{s}$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{13 s \cdot s + (s - 1) (3 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s + 19) + 4 s}{s}$

Paso 10

Simplifica cada término.

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Paso 10.1

Multiplica $s$ por $s$ sumando los exponentes.

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Paso 10.1.1

Mueve $s$ .

$\frac{13 (s \cdot s) + (s - 1) (3 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s + 19) + 4 s}{s}$

Paso 10.1.2

Multiplica $s$ por $s$ .

$\frac{13 s^{2} + (s - 1) (3 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s + 19) + 4 s}{s}$

Paso 10.2

Expande $(s - 1) (3 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s + 19)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{13 s^{2} + s (3 s^{3}) + s (19 s^{2}) + s (19 s) + s \cdot 19 - 1 (3 s^{3}) - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

Paso 10.3

Simplifica cada término.

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Paso 10.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{13 s^{2} + 3 s \cdot s^{3} + s (19 s^{2}) + s (19 s) + s \cdot 19 - 1 (3 s^{3}) - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

Paso 10.3.2

Multiplica $s$ por $s^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.3.2.1

Mueve $s^{3}$ .

$\frac{13 s^{2} + 3 (s^{3} s) + s (19 s^{2}) + s (19 s) + s \cdot 19 - 1 (3 s^{3}) - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

Paso 10.3.2.2

Multiplica $s^{3}$ por $s$ .

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Paso 10.3.2.2.1

Eleva $s$ a la potencia de $1$ .

$\frac{13 s^{2} + 3 (s^{3} s^{1}) + s (19 s^{2}) + s (19 s) + s \cdot 19 - 1 (3 s^{3}) - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

Paso 10.3.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{3 + 1} + s (19 s^{2}) + s (19 s) + s \cdot 19 - 1 (3 s^{3}) - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

Paso 10.3.2.3

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + s (19 s^{2}) + s (19 s) + s \cdot 19 - 1 (3 s^{3}) - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

Paso 10.3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 s \cdot s^{2} + s (19 s) + s \cdot 19 - 1 (3 s^{3}) - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

Paso 10.3.4

Multiplica $s$ por $s^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.3.4.1

Mueve $s^{2}$ .

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 (s^{2} s) + s (19 s) + s \cdot 19 - 1 (3 s^{3}) - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

Paso 10.3.4.2

Multiplica $s^{2}$ por $s$ .

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Paso 10.3.4.2.1

Eleva $s$ a la potencia de $1$ .

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 (s^{2} s^{1}) + s (19 s) + s \cdot 19 - 1 (3 s^{3}) - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

Paso 10.3.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 s^{2 + 1} + s (19 s) + s \cdot 19 - 1 (3 s^{3}) - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

Paso 10.3.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 s^{3} + s (19 s) + s \cdot 19 - 1 (3 s^{3}) - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

Paso 10.3.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 s^{3} + 19 s \cdot s + s \cdot 19 - 1 (3 s^{3}) - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

Paso 10.3.6

Multiplica $s$ por $s$ sumando los exponentes.

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Paso 10.3.6.1

Mueve $s$ .

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 s^{3} + 19 (s \cdot s) + s \cdot 19 - 1 (3 s^{3}) - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

Paso 10.3.6.2

Multiplica $s$ por $s$ .

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 s^{3} + 19 s^{2} + s \cdot 19 - 1 (3 s^{3}) - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

Paso 10.3.7

Mueve $19$ a la izquierda de $s$ .

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 s^{3} + 19 s^{2} + 19 \cdot s - 1 (3 s^{3}) - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

Paso 10.3.8

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s - 3 s^{3} - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

Paso 10.3.9

Multiplica $19$ por $- 1$ .

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s - 3 s^{3} - 19 s^{2} - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

Paso 10.3.10

Multiplica $19$ por $- 1$ .

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s - 3 s^{3} - 19 s^{2} - 19 s - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

Paso 10.3.11

Multiplica $- 1$ por $19$ .

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s - 3 s^{3} - 19 s^{2} - 19 s - 19 + 4 s}{s}$

Paso 10.4

Combina los términos opuestos en $3 s^{4} + 19 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s - 3 s^{3} - 19 s^{2} - 19 s - 19$ .

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Paso 10.4.1

Resta $19 s^{2}$ de $19 s^{2}$ .

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 s^{3} + 19 s - 3 s^{3} + 0 - 19 s - 19 + 4 s}{s}$

Paso 10.4.2

Suma $3 s^{4} + 19 s^{3} + 19 s - 3 s^{3}$ y $0$ .

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 s^{3} + 19 s - 3 s^{3} - 19 s - 19 + 4 s}{s}$

Paso 10.4.3

Resta $19 s$ de $19 s$ .

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 s^{3} - 3 s^{3} + 0 - 19 + 4 s}{s}$

Paso 10.4.4

Suma $3 s^{4} + 19 s^{3} - 3 s^{3}$ y $0$ .

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 s^{3} - 3 s^{3} - 19 + 4 s}{s}$

Paso 10.5

Resta $3 s^{3}$ de $19 s^{3}$ .

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 16 s^{3} - 19 + 4 s}{s}$

Paso 11

Reordena los términos.

$\frac{3 s^{4} + 16 s^{3} + 13 s^{2} + 4 s - 19}{s}$