Matemática básica Ejemplos

$\sin (\frac{π}{2} + θ) = - \tan (θ)$

Paso 1

Usa la fórmula de suma para el seno para simplificar la expresión. La fórmula establece que

$\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

$\sin (\frac{π}{2}) \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

Paso 2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Simplifica

$\sin (\frac{π}{2}) \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ)$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

El valor exacto de

$\sin (\frac{π}{2})$ es

$1$ .

$1 \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

Paso 2.1.1.2

Multiplica

$\cos (θ)$ por

$1$ .

$\cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

Paso 2.1.1.3

El valor exacto de

$\cos (\frac{π}{2})$ es

$0$ .

$\cos (θ) + 0 \sin (θ) = - \tan (θ)$

Paso 2.1.1.4

Multiplica

$0$ por

$\sin (θ)$ .

$\cos (θ) + 0 = - \tan (θ)$

Paso 2.1.2

Suma

$\cos (θ)$ y

$0$ .

$\cos (θ) = - \tan (θ)$

Paso 3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1

Reescribe

$\tan (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$\cos (θ) = - \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Paso 4

Multiplica ambos lados de la ecuación por

$\cos (θ)$ .

$\cos (θ) \cos (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Paso 5

Multiplica

$\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Paso 5.1

Eleva

$\cos (θ)$ a la potencia de

$1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Paso 5.2

Eleva

$\cos (θ)$ a la potencia de

$1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Paso 5.3

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\cos (θ)}^{1 + 1} = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Paso 5.4

Suma

$1$ y

$1$ .

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Paso 6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\cos^{2} (θ) = - \cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Paso 7

Cancela el factor común de

$\cos (θ)$ .

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Paso 7.1

Factoriza

$\cos (θ)$ de

$- \cos (θ)$ .

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot - 1 \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Paso 7.2

Cancela el factor común.

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot - 1 \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Paso 7.3

Reescribe la expresión.

$\cos^{2} (θ) = - \sin (θ)$

Paso 8

Suma

$\sin (θ)$ a ambos lados de la ecuación.

$\cos^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

Paso 9

Reemplaza

$\cos^{2} (θ)$ con

$1 - \sin^{2} (θ)$ .

$(1 - \sin^{2} (θ)) + \sin (θ) = 0$

Paso 10

Resuelve

$θ$

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Paso 10.1

Sustituye

$u$ por

$\sin (θ)$ .

$1 - {(u)}^{2} + u = 0$

Paso 10.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 10.3

Sustituye los valores

$a = - 1$ ,

$b = 1$ y

$c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve

$u$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.4

Simplifica.

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Paso 10.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.4.1.2

Multiplica

$- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

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Paso 10.4.1.2.1

Multiplica

$- 4$ por

$- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.4.1.2.2

Multiplica

$4$ por

$1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.4.1.3

Suma

$1$ y

$4$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.4.2

Multiplica

$2$ por

$- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Paso 10.4.3

Simplifica

$\frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Paso 10.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 10.6

Sustituye

$\sin (θ)$ por

$u$ .

$\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 10.7

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de

$θ$ .

$\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (θ) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 10.8

Resuelve

$θ$ en

$\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

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Paso 10.8.1

El rango del seno es

$- 1 \leq y \leq 1$ . Como

$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 10.9

Resuelve

$θ$ en

$\sin (θ) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .

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Paso 10.9.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer

$θ$ del interior de seno.

$θ = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

Paso 10.9.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.9.2.1

Evalúa

$\arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ .

$θ = - 0.66623943$

Paso 10.9.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de

$π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$θ = (3.14159265) + 0.66623943$

Paso 10.9.4

Resuelve

$θ$

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Paso 10.9.4.1

Elimina los paréntesis.

$θ = 3.14159265 + 0.66623943$

Paso 10.9.4.2

Elimina los paréntesis.

$θ = (3.14159265) + 0.66623943$

Paso 10.9.4.3

Suma

$3.14159265$ y

$0.66623943$ .

$θ = 3.80783208$

Paso 10.9.5

Obtén el período de

$\sin (θ)$ .

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Paso 10.9.5.1

El período de la función puede calcularse mediante

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 10.9.5.2

Reemplaza

$b$ con

$1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 10.9.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre

$0$ y

$1$ es

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 10.9.5.4

Divide

$2 π$ por

$1$ .

$2 π$

Paso 10.9.6

Suma

$2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 10.9.6.1

Suma

$2 π$ y

$- 0.66623943$ para obtener el ángulo positivo.

$- 0.66623943 + 2 π$

Paso 10.9.6.2

Resta

$0.66623943$ de

$2 π$ .

$5.61694587$

Paso 10.9.6.3

Enumera los nuevos ángulos.

$θ = 5.61694587$

Paso 10.9.7

El período de la función

$\sin (θ)$ es

$2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada

$2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ , para cualquier número entero

$n$

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ , para cualquier número entero

$n$

Paso 10.10

Enumera todas las soluciones.

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ , para cualquier número entero

$n$

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ , para cualquier número entero

$n$