Matemática básica Ejemplos

$\sin (\frac{π}{2} + θ) = - \tan (θ)$

Paso 1

Usa la fórmula de suma para el seno para simplificar la expresión. La fórmula establece que $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

$\sin (\frac{π}{2}) \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

Paso 2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Simplifica $\sin (\frac{π}{2}) \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ)$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$1 \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

Paso 2.1.1.2

Multiplica $\cos (θ)$ por $1$ .

$\cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

Paso 2.1.1.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$\cos (θ) + 0 \sin (θ) = - \tan (θ)$

Paso 2.1.1.4

Multiplica $0$ por $\sin (θ)$ .

$\cos (θ) + 0 = - \tan (θ)$

Paso 2.1.2

Suma $\cos (θ)$ y $0$ .

$\cos (θ) = - \tan (θ)$

Paso 3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1

Reescribe $\tan (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$\cos (θ) = - \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Paso 4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) \cos (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Paso 5

Multiplica $\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Paso 5.1

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Paso 5.2

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Paso 5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\cos (θ)}^{1 + 1} = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Paso 5.4

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Paso 6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\cos^{2} (θ) = - \cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Paso 7

Cancela el factor común de $\cos (θ)$ .

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Paso 7.1

Factoriza $\cos (θ)$ de $- \cos (θ)$ .

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot - 1 \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Paso 7.2

Cancela el factor común.

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot - 1 \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Paso 7.3

Reescribe la expresión.

$\cos^{2} (θ) = - \sin (θ)$

Paso 8

Suma $\sin (θ)$ a ambos lados de la ecuación.

$\cos^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

Paso 9

Reemplaza $\cos^{2} (θ)$ con $1 - \sin^{2} (θ)$ .

$(1 - \sin^{2} (θ)) + \sin (θ) = 0$

Paso 10

Resuelve $θ$

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Paso 10.1

Sustituye $u$ por $\sin (θ)$ .

$1 - {(u)}^{2} + u = 0$

Paso 10.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 10.3

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = 1$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.4

Simplifica.

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Paso 10.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

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Paso 10.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.4.1.2.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.4.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Paso 10.4.3

Simplifica $\frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Paso 10.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 10.6

Sustituye $\sin (θ)$ por $u$ .

$\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 10.7

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $θ$ .

$\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (θ) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 10.8

Resuelve $θ$ en $\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

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Paso 10.8.1

El rango del seno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 10.9

Resuelve $θ$ en $\sin (θ) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .

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Paso 10.9.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$θ = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

Paso 10.9.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.9.2.1

Evalúa $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ .

$θ = - 0.66623943$

Paso 10.9.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$θ = (3.14159265) + 0.66623943$

Paso 10.9.4

Resuelve $θ$

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Paso 10.9.4.1

Elimina los paréntesis.

$θ = 3.14159265 + 0.66623943$

Paso 10.9.4.2

Elimina los paréntesis.

$θ = (3.14159265) + 0.66623943$

Paso 10.9.4.3

Suma $3.14159265$ y $0.66623943$ .

$θ = 3.80783208$

Paso 10.9.5

Obtén el período de $\sin (θ)$ .

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Paso 10.9.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 10.9.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 10.9.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 10.9.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 10.9.6

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 10.9.6.1

Suma $2 π$ y $- 0.66623943$ para obtener el ángulo positivo.

$- 0.66623943 + 2 π$

Paso 10.9.6.2

Resta $0.66623943$ de $2 π$ .

$5.61694587$

Paso 10.9.6.3

Enumera los nuevos ángulos.

$θ = 5.61694587$

Paso 10.9.7

El período de la función $\sin (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 10.10

Enumera todas las soluciones.

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$