Álgebra Ejemplos

$(1, 2)$ , $(4, 2)$ , $(5, 2)$

Paso 1

Hay dos ecuaciones generales para una elipse.

Ecuación de elipse horizontal $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Ecuación de elipse vertical $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 2

$a$ es la distancia entre el vértice $(5, 2)$ y el punto central $(1, 2)$ .

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Paso 2.1

Usa la fórmula de distancia para determinar la distancia entre los dos puntos.

$Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Paso 2.2

Sustituye los valores reales de los puntos en la fórmula de distancia.

$a = \sqrt{{(5 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Resta $1$ de $5$ .

$a = \sqrt{4^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Paso 2.3.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$a = \sqrt{16 + {(2 - 2)}^{2}}$

Paso 2.3.3

Resta $2$ de $2$ .

$a = \sqrt{16 + 0^{2}}$

Paso 2.3.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$a = \sqrt{16 + 0}$

Paso 2.3.5

Suma $16$ y $0$ .

$a = \sqrt{16}$

Paso 2.3.6

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$a = \sqrt{4^{2}}$

Paso 2.3.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$a = 4$

Paso 3

$c$ es la distancia entre el enfoque $(4, 2)$ y el centro $(1, 2)$ .

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Paso 3.1

Usa la fórmula de distancia para determinar la distancia entre los dos puntos.

$Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Paso 3.2

Sustituye los valores reales de los puntos en la fórmula de distancia.

$c = \sqrt{{(4 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Resta $1$ de $4$ .

$c = \sqrt{3^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$c = \sqrt{9 + {(2 - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Resta $2$ de $2$ .

$c = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Paso 3.3.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$c = \sqrt{9 + 0}$

Paso 3.3.5

Suma $9$ y $0$ .

$c = \sqrt{9}$

Paso 3.3.6

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$c = \sqrt{3^{2}}$

Paso 3.3.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$c = 3$

Paso 4

Mediante la ecuación $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ , sustituye $4$ por $a$ y $3$ por $c$ .

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como ${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$ .

${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$

Paso 4.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$16 - b^{2} = 3^{2}$

Paso 4.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$16 - b^{2} = 9$

Paso 4.4

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.4.1

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$- b^{2} = 9 - 16$

Paso 4.4.2

Resta $16$ de $9$ .

$- b^{2} = - 7$

Paso 4.5

Divide cada término en $- b^{2} = - 7$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.5.1

Divide cada término en $- b^{2} = - 7$ por $- 1$ .

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Paso 4.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Paso 4.5.2.2

Divide $b^{2}$ por $1$ .

$b^{2} = \frac{- 7}{- 1}$

Paso 4.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.5.3.1

Divide $- 7$ por $- 1$ .

$b^{2} = 7$

Paso 4.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$b = \pm \sqrt{7}$

Paso 4.7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$b = \sqrt{7}$

Paso 4.7.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$b = - \sqrt{7}$

Paso 4.7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$b = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Paso 5

$b$ es una distancia, lo que significa que debe ser un número positivo.

$b = \sqrt{7}$

Paso 6

La pendiente de la línea entre el foco $(4, 2)$ y el centro $(1, 2)$ determina si la elipse es vertical u horizontal. Si la pendiente es $0$ , la gráfica es horizontal. Si la pendiente es indefinida, la gráfica es vertical.

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Paso 6.1

La pendiente es igual al cambio en $y$ sobre el cambio en $x$ , o elevación sobre avance.

$m = \frac{cambio en y}{cambio en x}$

Paso 6.2

El cambio en $x$ es igual a la diferencia en las coordenadas x (también llamada "avance") y el cambio en $y$ es igual a la diferencia en las coordenadas y (también llamada "elevación").

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Paso 6.3

Sustituye los valores de $x$ y $y$ en la ecuación para obtener la pendiente.

$m = \frac{2 - (2)}{1 - (4)}$

Paso 6.4

Simplifica.

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Paso 6.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$m = \frac{2 - 2}{1 - (4)}$

Paso 6.4.1.2

Resta $2$ de $2$ .

$m = \frac{0}{1 - (4)}$

Paso 6.4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$m = \frac{0}{1 - 4}$

Paso 6.4.2.2

Resta $4$ de $1$ .

$m = \frac{0}{- 3}$

Paso 6.4.3

Divide $0$ por $- 3$ .

$m = 0$

Paso 6.5

La ecuación general para una elipse horizontal es $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 7

Sustituye los valores $h = 1$ , $k = 2$ , $a = 4$ y $b = \sqrt{7}$ en $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ para obtener la ecuación de la elipse $\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Paso 8

Simplifica para obtener la ecuación final de la elipse.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Paso 8.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Paso 8.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Paso 8.4

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 8.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Paso 8.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Paso 8.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Paso 8.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Paso 8.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1$

Paso 8.4.5

Evalúa el exponente.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1$

Paso 9