Álgebra Ejemplos

$y = e^{2 x + 5}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = e^{2 y + 5}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $e^{2 y + 5} = x$ .

$e^{2 y + 5} = x$

Paso 2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{2 y + 5}) = \ln (x)$

Paso 2.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1

Expande $\ln (e^{2 y + 5})$ ; para ello, mueve $2 y + 5$ fuera del logaritmo.

$(2 y + 5) \ln (e) = \ln (x)$

Paso 2.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(2 y + 5) \cdot 1 = \ln (x)$

Paso 2.3.3

Multiplica $2 y + 5$ por $1$ .

$2 y + 5 = \ln (x)$

Paso 2.4

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y = \ln (x) - 5$

Paso 2.5

Divide cada término en $2 y = \ln (x) - 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.5.1

Divide cada término en $2 y = \ln (x) - 5$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{- 5}{2}$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{- 5}{2}$

Paso 2.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{- 5}{2}$

Paso 2.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}$ es la inversa de $f (x) = e^{2 x + 5}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (e^{2 x + 5})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{\ln (e^{2 x + 5})}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{\ln (e^{2 x + 5}) - 5}{2}$

Paso 4.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.4.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $2 x + 5$ fuera del exponente.

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{(2 x + 5) \ln (e) - 5}{2}$

Paso 4.2.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{(2 x + 5) \cdot 1 - 5}{2}$

Paso 4.2.4.3

Multiplica $2 x + 5$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{2 x + 5 - 5}{2}$

Paso 4.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.5.1

Combina los términos opuestos en $2 x + 5 - 5$ .

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Paso 4.2.5.1.1

Resta $5$ de $5$ .

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Paso 4.2.5.1.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 4.2.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 4.2.5.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) + 5}$

Paso 4.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1.1

Reescribe $\frac{\ln (x)}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (x) - \frac{5}{2}) + 5}$

Paso 4.3.3.1.2

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (x)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) - \frac{5}{2}) + 5}$

Paso 4.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

Paso 4.3.3.3

Simplifica $2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

Paso 4.3.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.3.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{2}$ al numerador.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{- 5}{2}) + 5}$

Paso 4.3.3.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{- 5}{2}) + 5}$

Paso 4.3.3.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) - 5 + 5}$

Paso 4.3.3.5

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.5.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.3.3.5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - 5 + 5}$

Paso 4.3.3.5.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.3.5.1.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - 5 + 5}$

Paso 4.3.3.5.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln (x^{1}) - 5 + 5}$

Paso 4.3.3.5.2

Simplifica.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln (x) - 5 + 5}$

Paso 4.3.4

Combina los términos opuestos en $\ln (x) - 5 + 5$ .

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Paso 4.3.4.1

Suma $- 5$ y $5$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln (x) + 0}$

Paso 4.3.4.2

Suma $\ln (x)$ y $0$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln (x)}$

Paso 4.3.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}$ es la inversa de $f (x) = e^{2 x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}$