Álgebra Ejemplos

$f (x) = 2 x^{3} - 5$

Paso 1

Escribe $f (x) = 2 x^{3} - 5$ como una ecuación.

$y = 2 x^{3} - 5$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 2 y^{3} - 5$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $2 y^{3} - 5 = x$ .

$2 y^{3} - 5 = x$

Paso 3.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y^{3} = x + 5$

Paso 3.3

Divide cada término en $2 y^{3} = x + 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $2 y^{3} = x + 5$ por $2$ .

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Paso 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{2} + \frac{5}{2}}$

Paso 3.5

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{x}{2} + \frac{5}{2}}$ .

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Paso 3.5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 5}{2}}$

Paso 3.5.2

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{x + 5}{2}}$ como $\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{\sqrt[3]{2}}$

Paso 3.5.3

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 3.5.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.5.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 3.5.4.2

Eleva $\sqrt[3]{2}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 3.5.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Paso 3.5.4.4

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Paso 3.5.4.5

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ como $2$ .

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Paso 3.5.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 3.5.4.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 3.5.4.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.5.4.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.4.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.5.4.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Paso 3.5.4.5.5

Evalúa el exponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Paso 3.5.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.5.1

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ como $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Paso 3.5.5.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} \sqrt[3]{4}}{2}$

Paso 3.5.6

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.5.6.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x + 5) \cdot 4}}{2}$

Paso 3.5.6.2

Reordena los factores en $\frac{\sqrt[3]{(x + 5) \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}$ es la inversa de $f (x) = 2 x^{3} - 5$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (2 x^{3} - 5)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{4 ((2 x^{3} - 5) + 5)}}{2}$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1

Suma $- 5$ y $5$ .

$f^{- 1} (2 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{4 (2 x^{3} + 0)}}{2}$

Paso 5.2.3.2

Suma $2 x^{3}$ y $0$ .

$f^{- 1} (2 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{4 \cdot (2 x^{3})}}{2}$

Paso 5.2.3.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$f^{- 1} (2 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

Paso 5.2.3.4

Reescribe $8 x^{3}$ como ${(2 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (2 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

Paso 5.2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} (2 x^{3} - 5) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (2 x^{3} - 5) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 x^{3} - 5) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2})}^{3} - 5$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}^{3}}{2^{3}}) - 5$

Paso 5.3.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.2.1

Reescribe ${\sqrt[3]{4 (x + 5)}}^{3}$ como $4 (x + 5)$ .

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Paso 5.3.3.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{4 (x + 5)}$ como ${(4 (x + 5))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{{({(4 (x + 5))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}}) - 5$

Paso 5.3.3.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{{(4 (x + 5))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}) - 5$

Paso 5.3.3.2.1.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{{(4 (x + 5))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 5$

Paso 5.3.3.2.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{{(4 (x + 5))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 5$

Paso 5.3.3.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 5)}{2^{3}}) - 5$

Paso 5.3.3.2.1.5

Simplifica.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 5)}{2^{3}}) - 5$

Paso 5.3.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{4 x + 4 \cdot 5}{2^{3}}) - 5$

Paso 5.3.3.2.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{4 x + 20}{2^{3}}) - 5$

Paso 5.3.3.2.4

Factoriza $4$ de $4 x + 20$ .

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Paso 5.3.3.2.4.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x) + 20}{2^{3}}) - 5$

Paso 5.3.3.2.4.2

Factoriza $4$ de $20$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{4 x + 4 \cdot 5}{2^{3}}) - 5$

Paso 5.3.3.2.4.3

Factoriza $4$ de $4 x + 4 \cdot 5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 5)}{2^{3}}) - 5$

Paso 5.3.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 5)}{8}) - 5$

Paso 5.3.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.4.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 5)}{2 (4)}) - 5$

Paso 5.3.3.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 5)}{2 \cdot 4}) - 5$

Paso 5.3.3.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = \frac{4 (x + 5)}{4} - 5$

Paso 5.3.3.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = \frac{4 (x + 5)}{4} - 5$

Paso 5.3.3.5.2

Divide $x + 5$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = x + 5 - 5$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x + 5 - 5$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $5$ de $5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}$ es la inversa de $f (x) = 2 x^{3} - 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}$