Álgebra Ejemplos

$(3, \frac{1}{64})$

Paso 1

Para obtener una función exponencial, $f (x) = a^{x}$ , que contenga el punto, establece $f (x)$ en la función al valor $y$ $\frac{1}{64}$ del punto, y establece $x$ al valor $x$ $3$ del punto.

$\frac{1}{64} = a^{3}$

Paso 2

Resuelve la ecuación en $a$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $a^{3} = \frac{1}{64}$ .

$a^{3} = \frac{1}{64}$

Paso 2.2

Resta $\frac{1}{64}$ de ambos lados de la ecuación.

$a^{3} - \frac{1}{64} = 0$

Paso 2.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Reescribe $\frac{1}{64}$ como ${(\frac{1}{4})}^{3}$ .

$a^{3} - {(\frac{1}{4})}^{3} = 0$

Paso 2.3.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = a$ y $b = \frac{1}{4}$ .

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + a (\frac{1}{4}) + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Paso 2.3.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Combina $a$ y $\frac{1}{4}$ .

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Paso 2.3.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1^{2}}{4^{2}}) = 0$

Paso 2.3.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{4^{2}}) = 0$

Paso 2.3.3.4

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

Paso 2.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$a - \frac{1}{4} = 0$

$a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16} = 0$

Paso 2.5

Establece $a - \frac{1}{4}$ igual a $0$ y resuelve $a$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Establece $a - \frac{1}{4}$ igual a $0$ .

$a - \frac{1}{4} = 0$

Paso 2.5.2

Suma $\frac{1}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$a = \frac{1}{4}$

Paso 2.6

Establece $a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}$ igual a $0$ y resuelve $a$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

Establece $a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}$ igual a $0$ .

$a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16} = 0$

Paso 2.6.2

Resuelve $a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16} = 0$ en $a$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.1

Multiplica por el mínimo común denominador $16$ , luego simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$16 a^{2} + 16 (\frac{a}{4}) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Paso 2.6.2.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.1.2.1.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$16 a^{2} + 4 (4) (\frac{a}{4}) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Paso 2.6.2.1.2.1.2

Cancela el factor común.

$16 a^{2} + 4 \cdot (4 (\frac{a}{4})) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Paso 2.6.2.1.2.1.3

Reescribe la expresión.

$16 a^{2} + 4 a + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Paso 2.6.2.1.2.2

Cancela el factor común de $16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$16 a^{2} + 4 a + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Paso 2.6.2.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$16 a^{2} + 4 a + 1 = 0$

Paso 2.6.2.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.6.2.3

Sustituye los valores $a = 16$ , $b = 4$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $a$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.4.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.4.1.2.2

Multiplica $- 64$ por $1$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.4.1.3

Resta $64$ de $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.4.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.4.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.4.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.4.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.4.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.4.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Paso 2.6.2.4.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.6.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.5.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.5.1.2.2

Multiplica $- 64$ por $1$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.5.1.3

Resta $64$ de $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.5.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.5.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.5.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.5.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.5.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.5.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Paso 2.6.2.5.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.6.2.5.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$a = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.6.2.5.5

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.6.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{8}$

Paso 2.6.2.5.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{8}$

Paso 2.6.2.5.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$a = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.6.2.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.6.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.6.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.6.1.2.2

Multiplica $- 64$ por $1$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.6.1.3

Resta $64$ de $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.6.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.6.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.6.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.6.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.6.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.6.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.6.2.6.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Paso 2.6.2.6.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.6.2.6.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$a = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.6.2.6.5

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.6.2.6.6

Factoriza $- 1$ de $- i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{8}$

Paso 2.6.2.6.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{8}$

Paso 2.6.2.6.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$a = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.6.2.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$a = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}) = 0$ verdadera.

$a = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.8

Elimina todos los valores que contienen componentes imaginarios.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.1

No hay componentes imaginarios. Suma $\frac{1}{4}$ a la respuesta final.

$\frac{1}{4}$ es un número real

Paso 2.8.2

La letra $i$ representa un componente imaginario y no es un número real. No sumes $- \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$ a la respuesta final.

$- \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$ no es un número real

Paso 2.8.3

La letra $i$ representa un componente imaginario y no es un número real. No sumes $- \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$ a la respuesta final.

$- \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$ no es un número real

Paso 2.8.4

La respuesta final es la lista de los valores que no contienen componentes imaginarios.

$a = \frac{1}{4}$

Paso 3

Sustituye cada valor por $a$ de nuevo en la función $f (x) = a^{x}$ para obtener todas las funciones exponenciales posibles.

$f (x) = {(\frac{1}{4})}^{x}$