Álgebra Ejemplos

$f (x) = 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12$

Paso 1

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ .

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Paso 1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1, \pm 3$

Paso 1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 3, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm 6, \pm 12$

Paso 2

Aplica la regla de división sintética en $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 2}$ cuando $x = 2$ .

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Paso 2.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Paso 2.2

El primer número en el dividendo $(3)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Paso 2.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(3)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(6)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(3)$ .

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$
	$3$

Paso 2.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$
	$3$	$9$

Paso 2.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(9)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(18)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$
	$3$	$9$

Paso 2.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$
	$3$	$9$	$17$

Paso 2.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(17)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(34)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$
	$3$	$9$	$17$

Paso 2.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$
	$3$	$9$	$17$	$22$

Paso 2.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(22)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(44)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$	$44$
	$3$	$9$	$17$	$22$

Paso 2.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$	$44$
	$3$	$9$	$17$	$22$	$32$

Paso 2.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$3 x^{3} + 9 x^{2} + (17) x + 22 + \frac{32}{x - 2}$

Paso 2.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$3 x^{3} + 9 x^{2} + 17 x + 22 + \frac{32}{x - 2}$

Paso 3

Como $2 > 0$ y todos los signos en la fila inferior de la división sintética son positivos, $2$ es una cota superior para las raíces reales de la función.

Cota superior: $2$

Paso 4

Aplica la regla de división sintética en $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 2}$ cuando $x = - 2$ .

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Paso 4.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Paso 4.2

El primer número en el dividendo $(3)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Paso 4.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(3)$ por el divisor $(- 2)$ y coloca el resultado de $(- 6)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(3)$ .

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$
	$3$

Paso 4.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$
	$3$	$- 3$

Paso 4.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 3)$ por el divisor $(- 2)$ y coloca el resultado de $(6)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$
	$3$	$- 3$

Paso 4.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$
	$3$	$- 3$	$5$

Paso 4.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(5)$ por el divisor $(- 2)$ y coloca el resultado de $(- 10)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$
	$3$	$- 3$	$5$

Paso 4.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$
	$3$	$- 3$	$5$	$- 22$

Paso 4.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 22)$ por el divisor $(- 2)$ y coloca el resultado de $(44)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$	$44$
	$3$	$- 3$	$5$	$- 22$

Paso 4.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$	$44$
	$3$	$- 3$	$5$	$- 22$	$32$

Paso 4.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$3 x^{3} + - 3 x^{2} + (5) x - 22 + \frac{32}{x + 2}$

Paso 4.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$3 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 22 + \frac{32}{x + 2}$

Paso 5

Como $- 2 < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- 2$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- 2$

Paso 6

Aplica la regla de división sintética en $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 3}$ cuando $x = 3$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(3)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(3)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(9)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(3)$ .

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$
	$3$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$
	$3$	$12$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(12)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(36)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$
	$3$	$12$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$
	$3$	$12$	$35$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(35)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(105)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$
	$3$	$12$	$35$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$
	$3$	$12$	$35$	$93$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(93)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(279)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$	$279$
	$3$	$12$	$35$	$93$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$	$279$
	$3$	$12$	$35$	$93$	$267$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$3 x^{3} + 12 x^{2} + (35) x + 93 + \frac{267}{x - 3}$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$3 x^{3} + 12 x^{2} + 35 x + 93 + \frac{267}{x - 3}$

Paso 7

Como $3 > 0$ y todos los signos en la fila inferior de la división sintética son positivos, $3$ es una cota superior para las raíces reales de la función.

Cota superior: $3$

Paso 8

Aplica la regla de división sintética en $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 3}$ cuando $x = - 3$ .

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Paso 8.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Paso 8.2

El primer número en el dividendo $(3)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Paso 8.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(3)$ por el divisor $(- 3)$ y coloca el resultado de $(- 9)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(3)$ .

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$
	$3$

Paso 8.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$
	$3$	$- 6$

Paso 8.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 6)$ por el divisor $(- 3)$ y coloca el resultado de $(18)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$
	$3$	$- 6$

Paso 8.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$
	$3$	$- 6$	$17$

Paso 8.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(17)$ por el divisor $(- 3)$ y coloca el resultado de $(- 51)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$
	$3$	$- 6$	$17$

Paso 8.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$
	$3$	$- 6$	$17$	$- 63$

Paso 8.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 63)$ por el divisor $(- 3)$ y coloca el resultado de $(189)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$	$189$
	$3$	$- 6$	$17$	$- 63$

Paso 8.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$	$189$
	$3$	$- 6$	$17$	$- 63$	$177$

Paso 8.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$3 x^{3} + - 6 x^{2} + (17) x - 63 + \frac{177}{x + 3}$

Paso 8.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$3 x^{3} - 6 x^{2} + 17 x - 63 + \frac{177}{x + 3}$

Paso 9

Como $- 3 < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- 3$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- 3$

Paso 10

Aplica la regla de división sintética en $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 4}$ cuando $x = 4$ .

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Paso 10.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Paso 10.2

El primer número en el dividendo $(3)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Paso 10.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(3)$ por el divisor $(4)$ y coloca el resultado de $(12)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(3)$ .

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$
	$3$

Paso 10.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$
	$3$	$15$

Paso 10.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(15)$ por el divisor $(4)$ y coloca el resultado de $(60)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$
	$3$	$15$

Paso 10.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$
	$3$	$15$	$59$

Paso 10.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(59)$ por el divisor $(4)$ y coloca el resultado de $(236)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$
	$3$	$15$	$59$

Paso 10.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$
	$3$	$15$	$59$	$224$

Paso 10.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(224)$ por el divisor $(4)$ y coloca el resultado de $(896)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$	$896$
	$3$	$15$	$59$	$224$

Paso 10.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$	$896$
	$3$	$15$	$59$	$224$	$884$

Paso 10.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$3 x^{3} + 15 x^{2} + (59) x + 224 + \frac{884}{x - 4}$

Paso 10.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$3 x^{3} + 15 x^{2} + 59 x + 224 + \frac{884}{x - 4}$

Paso 11

Como $4 > 0$ y todos los signos en la fila inferior de la división sintética son positivos, $4$ es una cota superior para las raíces reales de la función.

Cota superior: $4$

Paso 12

Aplica la regla de división sintética en $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 4}$ cuando $x = - 4$ .

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Paso 12.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Paso 12.2

El primer número en el dividendo $(3)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Paso 12.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(3)$ por el divisor $(- 4)$ y coloca el resultado de $(- 12)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(3)$ .

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$
	$3$

Paso 12.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$
	$3$	$- 9$

Paso 12.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 9)$ por el divisor $(- 4)$ y coloca el resultado de $(36)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$
	$3$	$- 9$

Paso 12.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$
	$3$	$- 9$	$35$

Paso 12.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(35)$ por el divisor $(- 4)$ y coloca el resultado de $(- 140)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$
	$3$	$- 9$	$35$

Paso 12.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$
	$3$	$- 9$	$35$	$- 152$

Paso 12.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 152)$ por el divisor $(- 4)$ y coloca el resultado de $(608)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$	$608$
	$3$	$- 9$	$35$	$- 152$

Paso 12.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$	$608$
	$3$	$- 9$	$35$	$- 152$	$596$

Paso 12.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$3 x^{3} + - 9 x^{2} + (35) x - 152 + \frac{596}{x + 4}$

Paso 12.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$3 x^{3} - 9 x^{2} + 35 x - 152 + \frac{596}{x + 4}$

Paso 13

Como $- 4 < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- 4$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- 4$

Paso 14

Aplica la regla de división sintética en $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + \frac{4}{3}}$ cuando $x = - \frac{4}{3}$ .

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Paso 14.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Paso 14.2

El primer número en el dividendo $(3)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Paso 14.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(3)$ por el divisor $(- \frac{4}{3})$ y coloca el resultado de $(- 4)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(3)$ .

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$
	$3$

Paso 14.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$
	$3$	$- 1$

Paso 14.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 1)$ por el divisor $(- \frac{4}{3})$ y coloca el resultado de $(\frac{4}{3})$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$
	$3$	$- 1$

Paso 14.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$

Paso 14.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(\frac{1}{3})$ por el divisor $(- \frac{4}{3})$ y coloca el resultado de $(- \frac{4}{9})$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$

Paso 14.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{112}{9}$

Paso 14.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- \frac{112}{9})$ por el divisor $(- \frac{4}{3})$ y coloca el resultado de $(\frac{448}{27})$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$	$\frac{448}{27}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{112}{9}$

Paso 14.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$	$\frac{448}{27}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{112}{9}$	$\frac{124}{27}$

Paso 14.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$3 x^{3} + - 1 x^{2} + (\frac{1}{3}) x - \frac{112}{9} + \frac{\frac{124}{27}}{x + \frac{4}{3}}$

Paso 14.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$3 x^{3} - x^{2} + \frac{x}{3} - \frac{112}{9} + \frac{124}{9 (3 x + 4)}$

Paso 15

Como $- \frac{4}{3} < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- \frac{4}{3}$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- \frac{4}{3}$

Paso 16

Aplica la regla de división sintética en $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 6}$ cuando $x = 6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Paso 16.2

El primer número en el dividendo $(3)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Paso 16.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(3)$ por el divisor $(6)$ y coloca el resultado de $(18)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(3)$ .

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$
	$3$

Paso 16.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$
	$3$	$21$

Paso 16.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(21)$ por el divisor $(6)$ y coloca el resultado de $(126)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$
	$3$	$21$

Paso 16.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$
	$3$	$21$	$125$

Paso 16.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(125)$ por el divisor $(6)$ y coloca el resultado de $(750)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$
	$3$	$21$	$125$

Paso 16.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$
	$3$	$21$	$125$	$738$

Paso 16.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(738)$ por el divisor $(6)$ y coloca el resultado de $(4428)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$	$4428$
	$3$	$21$	$125$	$738$

Paso 16.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$	$4428$
	$3$	$21$	$125$	$738$	$4416$

Paso 16.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$3 x^{3} + 21 x^{2} + (125) x + 738 + \frac{4416}{x - 6}$

Paso 16.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$3 x^{3} + 21 x^{2} + 125 x + 738 + \frac{4416}{x - 6}$

Paso 17

Como $6 > 0$ y todos los signos en la fila inferior de la división sintética son positivos, $6$ es una cota superior para las raíces reales de la función.

Cota superior: $6$

Paso 18

Aplica la regla de división sintética en $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 6}$ cuando $x = - 6$ .

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Paso 18.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Paso 18.2

El primer número en el dividendo $(3)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Paso 18.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(3)$ por el divisor $(- 6)$ y coloca el resultado de $(- 18)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(3)$ .

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$
	$3$

Paso 18.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$
	$3$	$- 15$

Paso 18.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 15)$ por el divisor $(- 6)$ y coloca el resultado de $(90)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$
	$3$	$- 15$

Paso 18.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$
	$3$	$- 15$	$89$

Paso 18.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(89)$ por el divisor $(- 6)$ y coloca el resultado de $(- 534)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$
	$3$	$- 15$	$89$

Paso 18.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$
	$3$	$- 15$	$89$	$- 546$

Paso 18.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 546)$ por el divisor $(- 6)$ y coloca el resultado de $(3276)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$	$3276$
	$3$	$- 15$	$89$	$- 546$

Paso 18.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$	$3276$
	$3$	$- 15$	$89$	$- 546$	$3264$

Paso 18.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$3 x^{3} + - 15 x^{2} + (89) x - 546 + \frac{3264}{x + 6}$

Paso 18.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$3 x^{3} - 15 x^{2} + 89 x - 546 + \frac{3264}{x + 6}$

Paso 19

Como $- 6 < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- 6$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- 6$

Paso 20

Aplica la regla de división sintética en $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 12}$ cuando $x = 12$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 20.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Paso 20.2

El primer número en el dividendo $(3)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Paso 20.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(3)$ por el divisor $(12)$ y coloca el resultado de $(36)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(3)$ .

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$
	$3$

Paso 20.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$
	$3$	$39$

Paso 20.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(39)$ por el divisor $(12)$ y coloca el resultado de $(468)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$
	$3$	$39$

Paso 20.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$
	$3$	$39$	$467$

Paso 20.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(467)$ por el divisor $(12)$ y coloca el resultado de $(5604)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$
	$3$	$39$	$467$

Paso 20.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$
	$3$	$39$	$467$	$5592$

Paso 20.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(5592)$ por el divisor $(12)$ y coloca el resultado de $(67104)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$	$67104$
	$3$	$39$	$467$	$5592$

Paso 20.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$	$67104$
	$3$	$39$	$467$	$5592$	$67092$

Paso 20.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$3 x^{3} + 39 x^{2} + (467) x + 5592 + \frac{67092}{x - 12}$

Paso 20.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$3 x^{3} + 39 x^{2} + 467 x + 5592 + \frac{67092}{x - 12}$

Paso 21

Como $12 > 0$ y todos los signos en la fila inferior de la división sintética son positivos, $12$ es una cota superior para las raíces reales de la función.

Cota superior: $12$

Paso 22

Aplica la regla de división sintética en $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 12}$ cuando $x = - 12$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 22.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Paso 22.2

El primer número en el dividendo $(3)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Paso 22.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(3)$ por el divisor $(- 12)$ y coloca el resultado de $(- 36)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(3)$ .

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$
	$3$

Paso 22.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$
	$3$	$- 33$

Paso 22.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 33)$ por el divisor $(- 12)$ y coloca el resultado de $(396)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$
	$3$	$- 33$

Paso 22.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$
	$3$	$- 33$	$395$

Paso 22.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(395)$ por el divisor $(- 12)$ y coloca el resultado de $(- 4740)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$
	$3$	$- 33$	$395$

Paso 22.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$
	$3$	$- 33$	$395$	$- 4752$

Paso 22.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 4752)$ por el divisor $(- 12)$ y coloca el resultado de $(57024)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$	$57024$
	$3$	$- 33$	$395$	$- 4752$

Paso 22.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$	$57024$
	$3$	$- 33$	$395$	$- 4752$	$57012$

Paso 22.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$3 x^{3} + - 33 x^{2} + (395) x - 4752 + \frac{57012}{x + 12}$

Paso 22.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$3 x^{3} - 33 x^{2} + 395 x - 4752 + \frac{57012}{x + 12}$

Paso 23

Como $- 12 < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- 12$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- 12$

Paso 24

Determina los límites superior e inferior.

Cotas superiores: $2, 3, 4, 6, 12$

Cotas inferiores: $- 2, - 3, - 4, - \frac{4}{3}, - 6, - 12$

Paso 25