Álgebra Ejemplos

${(\sqrt{2} + i \sqrt{2})}^{3}$

Paso 1

Usa el teorema del binomio.

${\sqrt{2}}^{3} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$\sqrt{2^{3}} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Paso 2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\sqrt{8} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Paso 2.1.3

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.1.3.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\sqrt{4 (2)} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Paso 2.1.3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Paso 2.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Paso 2.1.5

Multiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ por $\sqrt{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.5.1

Mueve $\sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 3 (\sqrt{2} {\sqrt{2}}^{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Paso 2.1.5.2

Multiplica $\sqrt{2}$ por ${\sqrt{2}}^{2}$ .

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Paso 2.1.5.2.1

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$2 \sqrt{2} + 3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Paso 2.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{1 + 2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Paso 2.1.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{3} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Paso 2.1.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2^{3}} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Paso 2.1.7

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{8} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Paso 2.1.8

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.1.8.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{4 (2)} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Paso 2.1.8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Paso 2.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$2 \sqrt{2} + 3 (2 \sqrt{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Paso 2.1.10

Multiplica $2$ por $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Paso 2.1.11

Aplica la regla del producto a $i \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2} (i^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Paso 2.1.12

Multiplica $\sqrt{2}$ por ${\sqrt{2}}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.12.1

Mueve ${\sqrt{2}}^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 ({\sqrt{2}}^{2} \sqrt{2}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Paso 2.1.12.2

Multiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ por $\sqrt{2}$ .

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Paso 2.1.12.2.1

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 ({\sqrt{2}}^{2} {\sqrt{2}}^{1}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Paso 2.1.12.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 {\sqrt{2}}^{2 + 1} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Paso 2.1.12.3

Suma $2$ y $1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 {\sqrt{2}}^{3} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Paso 2.1.13

Reescribe ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2^{3}} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Paso 2.1.14

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{8} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Paso 2.1.15

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.1.15.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{4 (2)} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Paso 2.1.15.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Paso 2.1.16

Retira los términos de abajo del radical.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 (2 \sqrt{2}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Paso 2.1.17

Multiplica $2$ por $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 6 \sqrt{2} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Paso 2.1.18

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 6 \sqrt{2} \cdot - 1 + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Paso 2.1.19

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Paso 2.1.20

Aplica la regla del producto a $i \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + i^{3} {\sqrt{2}}^{3}$

Paso 2.1.21

Factoriza $i^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + i^{2} \cdot i {\sqrt{2}}^{3}$

Paso 2.1.22

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - 1 \cdot i {\sqrt{2}}^{3}$

Paso 2.1.23

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i {\sqrt{2}}^{3}$

Paso 2.1.24

Reescribe ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{2^{3}}$

Paso 2.1.25

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{8}$

Paso 2.1.26

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.1.26.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{4 (2)}$

Paso 2.1.26.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Paso 2.1.27

Retira los términos de abajo del radical.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i (2 \sqrt{2})$

Paso 2.1.28

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1

Resta $6 \sqrt{2}$ de $2 \sqrt{2}$ .

$6 \sqrt{2} i - 4 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Paso 2.2.2

Reordena los factores de $6 \sqrt{2} i$ .

$6 i \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Paso 2.2.3

Resta $2 i \sqrt{2}$ de $6 i \sqrt{2}$ .

$4 i \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}$

Paso 2.2.4

Reordena $4 i \sqrt{2}$ y $- 4 \sqrt{2}$ .

$- 4 \sqrt{2} + 4 i \sqrt{2}$

Paso 3

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 4

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 5

Sustituye los valores reales de $a = - 4 \sqrt{2}$ y $b = 4 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Paso 6

Obtén $| z |$ .

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Paso 6.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1.1

Aplica la regla del producto a $4 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Paso 6.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Paso 6.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 6.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Paso 6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Paso 6.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Paso 6.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.4.1

Cancela el factor común.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Paso 6.2.4.2

Reescribe la expresión.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Paso 6.2.5

Evalúa el exponente.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Paso 6.3

Simplifica la expresión.

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Paso 6.3.1

Multiplica $16$ por $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Paso 6.3.2

Aplica la regla del producto a $- 4 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{32 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 6.3.3

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 6.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 6.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 6.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 6.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.4.1

Cancela el factor común.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.4.4.2

Reescribe la expresión.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

Paso 6.4.5

Evalúa el exponente.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

Paso 6.5

Simplifica la expresión.

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Paso 6.5.1

Multiplica $16$ por $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + 32}$

Paso 6.5.2

Suma $32$ y $32$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Paso 6.5.3

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Paso 6.5.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = 8$

Paso 7

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{4 \sqrt{2}}{- 4 \sqrt{2}})$

Paso 8

Como la tangente inversa de $\frac{4 \sqrt{2}}{- 4 \sqrt{2}}$ produce un ángulo en el segundo cuadrante, el valor del ángulo es $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Paso 9

Sustituye los valores de $θ = \frac{3 π}{4}$ y $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$