Álgebra Ejemplos

$- 4 - \sqrt{2} i$

Paso 1

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 2

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a = - 4$ y $b = - 1 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1 \sqrt{2})}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Paso 4

Obtén $| z |$ .

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Paso 4.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.1

Reescribe $- 1 \sqrt{2}$ como $- \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \sqrt{2})}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Paso 4.1.2

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Paso 4.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{1 {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Paso 4.1.4

Multiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$| z | = \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Paso 4.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 4)}^{2}}$

Paso 4.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$| z | = \sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(- 4)}^{2}}$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común.

$| z | = \sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(- 4)}^{2}}$

Paso 4.2.4.2

Reescribe la expresión.

$| z | = \sqrt{2 + {(- 4)}^{2}}$

Paso 4.2.5

Evalúa el exponente.

$| z | = \sqrt{2 + {(- 4)}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{2 + 16}$

Paso 4.3.2

Suma $2$ y $16$ .

$| z | = \sqrt{18}$

Paso 4.4

Reescribe $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $9$ de $18$ .

$| z | = \sqrt{9 (2)}$

Paso 4.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$| z | = \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Paso 4.5

Retira los términos de abajo del radical.

$| z | = 3 \sqrt{2}$

Paso 5

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{- 1 \sqrt{2}}{- 4})$

Paso 6

Como la tangente inversa de $\frac{- 1 \sqrt{2}}{- 4}$ produce un ángulo en el tercer cuadrante, el valor del ángulo es $3.48142956$ .

$θ = 3.48142956$

Paso 7

Sustituye los valores de $θ = 3.48142956$ y $| z | = 3 \sqrt{2}$ .

$3 \sqrt{2} (\cos (3.48142956) + i \sin (3.48142956))$