Álgebra Ejemplos

$1$ , $3$ , $6$ , $10$ , $15$

Paso 1

Obtén las diferencias del primer nivel mediante la obtención de las diferencias entre los términos consecutivos.

$2, 3, 4, 5$

Paso 2

Obtén la diferencia del segundo nivel mediante la obtención de las diferencias entre las diferencias del primer nivel. Como la diferencia del segundo nivel es constante, la progresión es cuadrática y dada por $a_{n} = a n^{2} + b n + c$ .

$1$

Paso 3

Resuelve $a$ al establecer $2 a$ igual a la diferencia del segundo nivel constante $1$ .

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Paso 3.1

Establece $2 a$ igual a la diferencia del segundo nivel constante $1$ .

$2 a = 1$

Paso 3.2

Divide cada término en $2 a = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $2 a = 1$ por $2$ .

$\frac{2 a}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 a}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{1}{2}$

Paso 4

Resuelve $b$ al establecer $3 a + b$ igual a la diferencia del primer nivel $2$ .

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Paso 4.1

Establece $3 a + b$ igual a la diferencia del primer nivel $2$ .

$3 a + b = 2$

Paso 4.2

Sustituye $\frac{1}{2}$ por $a$ .

$3 (\frac{1}{2}) + b = 2$

Paso 4.3

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} + b = 2$

Paso 4.4

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.4.1

Resta $\frac{3}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$b = 2 - \frac{3}{2}$

Paso 4.4.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$b = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Paso 4.4.3

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$b = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Paso 4.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$b = \frac{2 \cdot 2 - 3}{2}$

Paso 4.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$b = \frac{4 - 3}{2}$

Paso 4.4.5.2

Resta $3$ de $4$ .

$b = \frac{1}{2}$

Paso 5

Resuelve $c$ al establecer $a + b + c$ igual al primer término en la progresión $1$ .

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Paso 5.1

Establece $a + b + c$ igual al primer término en la progresión $1$ .

$a + b + c = 1$

Paso 5.2

Sustituye $\frac{1}{2}$ por $a$ y $\frac{1}{2}$ para $b$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + c = 1$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + c$ .

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Paso 5.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$c + \frac{1 + 1}{2} = 1$

Paso 5.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.2.1

Suma $1$ y $1$ .

$c + \frac{2}{2} = 1$

Paso 5.3.2.2

Divide $2$ por $2$ .

$c + 1 = 1$

Paso 5.4

Mueve todos los términos que no contengan $c$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.4.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$c = 1 - 1$

Paso 5.4.2

Resta $1$ de $1$ .

$c = 0$

Paso 6

Sustituye los valores de $a$ , $b$ y $c$ en la fórmula de la progresión cuadrática $a_{n} = a n^{2} + b n + c$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n + 0$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Suma $\frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n$ y $0$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n$

Paso 7.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $n^{2}$ .

$a_{n} = \frac{n^{2}}{2} + \frac{1}{2} n$

Paso 7.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $n$ .

$a_{n} = \frac{n^{2}}{2} + \frac{n}{2}$