Álgebra Ejemplos

$7 - \sqrt{x + 3}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = 7 - \sqrt{y + 3}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $7 - \sqrt{y + 3} = x$ .

$7 - \sqrt{y + 3} = x$

Paso 2.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$- \sqrt{y + 3} = x - 7$

Paso 2.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(- \sqrt{y + 3})}^{2} = {(x - 7)}^{2}$

Paso 2.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y + 3}$ como ${(y + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 7)}^{2}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica ${(- {(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- {(y + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 7)}^{2}$

Paso 2.4.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 {({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 7)}^{2}$

Paso 2.4.2.1.3

Multiplica ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 7)}^{2}$

Paso 2.4.2.1.4

Multiplica los exponentes en ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.4.2.1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 7)}^{2}$

Paso 2.4.2.1.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.2.1.4.2.1

Cancela el factor común.

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 7)}^{2}$

Paso 2.4.2.1.4.2.2

Reescribe la expresión.

${(y + 3)}^{1} = {(x - 7)}^{2}$

Paso 2.4.2.1.5

Simplifica.

$y + 3 = {(x - 7)}^{2}$

Paso 2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.1

Simplifica ${(x - 7)}^{2}$ .

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Paso 2.4.3.1.1

Reescribe ${(x - 7)}^{2}$ como $(x - 7) (x - 7)$ .

$y + 3 = (x - 7) (x - 7)$

Paso 2.4.3.1.2

Expande $(x - 7) (x - 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.4.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 3 = x (x - 7) - 7 (x - 7)$

Paso 2.4.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 3 = x \cdot x + x \cdot - 7 - 7 (x - 7)$

Paso 2.4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 3 = x \cdot x + x \cdot - 7 - 7 x - 7 \cdot - 7$

Paso 2.4.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.4.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y + 3 = x^{2} + x \cdot - 7 - 7 x - 7 \cdot - 7$

Paso 2.4.3.1.3.1.2

Mueve $- 7$ a la izquierda de $x$ .

$y + 3 = x^{2} - 7 \cdot x - 7 x - 7 \cdot - 7$

Paso 2.4.3.1.3.1.3

Multiplica $- 7$ por $- 7$ .

$y + 3 = x^{2} - 7 x - 7 x + 49$

Paso 2.4.3.1.3.2

Resta $7 x$ de $- 7 x$ .

$y + 3 = x^{2} - 14 x + 49$

Paso 2.5

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.5.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$y = x^{2} - 14 x + 49 - 3$

Paso 2.5.2

Resta $3$ de $49$ .

$y = x^{2} - 14 x + 46$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 14 x + 46$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = x^{2} - 14 x + 46$ es la inversa de $f (x) = 7 - \sqrt{x + 3}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = {(7 - \sqrt{x + 3})}^{2} - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Paso 4.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1

Reescribe ${(7 - \sqrt{x + 3})}^{2}$ como $(7 - \sqrt{x + 3}) (7 - \sqrt{x + 3})$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = (7 - \sqrt{x + 3}) (7 - \sqrt{x + 3}) - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Paso 4.2.3.2

Expande $(7 - \sqrt{x + 3}) (7 - \sqrt{x + 3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 7 (7 - \sqrt{x + 3}) - \sqrt{x + 3} (7 - \sqrt{x + 3}) - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Paso 4.2.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 7 \cdot 7 + 7 (- \sqrt{x + 3}) - \sqrt{x + 3} (7 - \sqrt{x + 3}) - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Paso 4.2.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 7 \cdot 7 + 7 (- \sqrt{x + 3}) - \sqrt{x + 3} \cdot 7 - \sqrt{x + 3} (- \sqrt{x + 3}) - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Paso 4.2.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.3.1.1

Multiplica $7$ por $7$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 49 + 7 (- \sqrt{x + 3}) - \sqrt{x + 3} \cdot 7 - \sqrt{x + 3} (- \sqrt{x + 3}) - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Paso 4.2.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 49 - 7 \sqrt{x + 3} - \sqrt{x + 3} \cdot 7 - \sqrt{x + 3} (- \sqrt{x + 3}) - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Paso 4.2.3.3.1.3

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 49 - 7 \sqrt{x + 3} - 7 \sqrt{x + 3} - \sqrt{x + 3} (- \sqrt{x + 3}) - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Paso 4.2.3.3.1.4

Multiplica $- \sqrt{x + 3} (- \sqrt{x + 3})$ .

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Paso 4.2.3.3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 49 - 7 \sqrt{x + 3} - 7 \sqrt{x + 3} + 1 \sqrt{x + 3} \sqrt{x + 3} - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Paso 4.2.3.3.1.4.2

Multiplica $\sqrt{x + 3}$ por $1$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 49 - 7 \sqrt{x + 3} - 7 \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} \sqrt{x + 3} - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Paso 4.2.3.3.1.4.3

Eleva $\sqrt{x + 3}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 49 - 7 \sqrt{x + 3} - 7 \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} \sqrt{x + 3} - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Paso 4.2.3.3.1.4.4

Eleva $\sqrt{x + 3}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 49 - 7 \sqrt{x + 3} - 7 \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} \sqrt{x + 3} - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Paso 4.2.3.3.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 49 - 7 \sqrt{x + 3} - 7 \sqrt{x + 3} + {\sqrt{x + 3}}^{1 + 1} - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Paso 4.2.3.3.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 49 - 7 \sqrt{x + 3} - 7 \sqrt{x + 3} + {\sqrt{x + 3}}^{2} - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Paso 4.2.3.3.1.5

Reescribe ${\sqrt{x + 3}}^{2}$ como $x + 3$ .

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Paso 4.2.3.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 3}$ como ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 49 - 7 \sqrt{x + 3} - 7 \sqrt{x + 3} + {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Paso 4.2.3.3.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 49 - 7 \sqrt{x + 3} - 7 \sqrt{x + 3} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Paso 4.2.3.3.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 49 - 7 \sqrt{x + 3} - 7 \sqrt{x + 3} + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Paso 4.2.3.3.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.3.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 49 - 7 \sqrt{x + 3} - 7 \sqrt{x + 3} + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Paso 4.2.3.3.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 49 - 7 \sqrt{x + 3} - 7 \sqrt{x + 3} + x + 3 - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Paso 4.2.3.3.1.5.5

Simplifica.

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 49 - 7 \sqrt{x + 3} - 7 \sqrt{x + 3} + x + 3 - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Paso 4.2.3.3.2

Suma $49$ y $3$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 52 - 7 \sqrt{x + 3} - 7 \sqrt{x + 3} + x - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Paso 4.2.3.3.3

Resta $7 \sqrt{x + 3}$ de $- 7 \sqrt{x + 3}$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 52 - 14 \sqrt{x + 3} + x - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Paso 4.2.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 52 - 14 \sqrt{x + 3} + x - 14 \cdot 7 - 14 (- \sqrt{x + 3}) + 46$

Paso 4.2.3.5

Multiplica $- 14$ por $7$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 52 - 14 \sqrt{x + 3} + x - 98 - 14 (- \sqrt{x + 3}) + 46$

Paso 4.2.3.6

Multiplica $- 1$ por $- 14$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 52 - 14 \sqrt{x + 3} + x - 98 + 14 \sqrt{x + 3} + 46$

Paso 4.2.4

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.2.4.1

Combina los términos opuestos en $52 - 14 \sqrt{x + 3} + x - 98 + 14 \sqrt{x + 3} + 46$ .

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Paso 4.2.4.1.1

Suma $- 14 \sqrt{x + 3}$ y $14 \sqrt{x + 3}$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 52 + x - 98 + 0 + 46$

Paso 4.2.4.1.2

Suma $52 + x - 98$ y $0$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 52 + x - 98 + 46$

Paso 4.2.4.2

Resta $98$ de $52$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = x - 46 + 46$

Paso 4.2.4.3

Combina los términos opuestos en $x - 46 + 46$ .

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Paso 4.2.4.3.1

Suma $- 46$ y $46$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = x + 0$

Paso 4.2.4.3.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (x^{2} - 14 x + 46)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (x^{2} - 14 x + 46) = 7 - \sqrt{(x^{2} - 14 x + 46) + 3}$

Paso 4.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1

Suma $46$ y $3$ .

$f (x^{2} - 14 x + 46) = 7 - \sqrt{x^{2} - 14 x + 49}$

Paso 4.3.3.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.3.3.2.1

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$f (x^{2} - 14 x + 46) = 7 - \sqrt{x^{2} - 14 x + 7^{2}}$

Paso 4.3.3.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$14 x = 2 \cdot x \cdot 7$

Paso 4.3.3.2.3

Reescribe el polinomio.

$f (x^{2} - 14 x + 46) = 7 - \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2}}$

Paso 4.3.3.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 7$ .

$f (x^{2} - 14 x + 46) = 7 - \sqrt{{(x - 7)}^{2}}$

Paso 4.3.3.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (x^{2} - 14 x + 46) = 7 - (x - 7)$

Paso 4.3.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x^{2} - 14 x + 46) = 7 - x + 7$

Paso 4.3.3.5

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$f (x^{2} - 14 x + 46) = 7 - x + 7$

Paso 4.3.4

Suma $7$ y $7$ .

$f (x^{2} - 14 x + 46) = - x + 14$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = x^{2} - 14 x + 46$ es la inversa de $f (x) = 7 - \sqrt{x + 3}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 14 x + 46$