Álgebra Ejemplos

$2 y + 2 y \geq 4 y + 7 y + 2 + 8 + y^{2}$

Paso 1

Reescribe para que $y$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$4 y + 7 y + 2 + 8 + y^{2} \leq 2 y + 2 y$

Paso 2

Simplifica $4 y + 7 y + 2 + 8 + y^{2}$ .

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Paso 2.1

Suma $4 y$ y $7 y$ .

$11 y + 2 + 8 + y^{2} \leq 2 y + 2 y$

Paso 2.2

Suma $2$ y $8$ .

$11 y + 10 + y^{2} \leq 2 y + 2 y$

Paso 3

Suma $2 y$ y $2 y$ .

$11 y + 10 + y^{2} \leq 4 y$

Paso 4

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 4.1

Resta $4 y$ de ambos lados de la desigualdad.

$11 y + 10 + y^{2} - 4 y \leq 0$

Paso 4.2

Resta $4 y$ de $11 y$ .

$7 y + 10 + y^{2} \leq 0$

Paso 5

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$7 y + 10 + y^{2} = 0$

Paso 6

Factoriza $7 y + 10 + y^{2}$ con el método AC.

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Paso 6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $10$ y cuya suma es $7$ .

$2, 5$

Paso 6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(y + 2) (y + 5) = 0$

Paso 7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y + 2 = 0$

$y + 5 = 0$

Paso 8

Establece $y + 2$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 8.1

Establece $y + 2$ igual a $0$ .

$y + 2 = 0$

Paso 8.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 2$

Paso 9

Establece $y + 5$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 9.1

Establece $y + 5$ igual a $0$ .

$y + 5 = 0$

Paso 9.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 5$

Paso 10

La solución final comprende todos los valores que hacen $(y + 2) (y + 5) = 0$ verdadera.

$y = - 2, - 5$

Paso 11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$y < - 5$

$- 5 < y < - 2$

$y > - 2$

Paso 12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 12.1

Prueba un valor en el intervalo $y < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.1.1

Elije un valor en el intervalo $y < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$y = - 8$

Paso 12.1.2

Reemplaza $y$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$2 (- 8) + 2 (- 8) \geq 4 (- 8) + 7 (- 8) + 2 + 8 + {(- 8)}^{2}$

Paso 12.1.3

$- 32$ del lado izquierdo es menor que $- 14$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 12.2

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < y < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < y < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$y = - 4$

Paso 12.2.2

Reemplaza $y$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$2 (- 4) + 2 (- 4) \geq 4 (- 4) + 7 (- 4) + 2 + 8 + {(- 4)}^{2}$

Paso 12.2.3

$- 16$ del lado izquierdo es mayor que $- 18$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 12.3

Prueba un valor en el intervalo $y > - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.3.1

Elije un valor en el intervalo $y > - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$y = 0$

Paso 12.3.2

Reemplaza $y$ con $0$ en la desigualdad original.

$2 (0) + 2 (0) \geq 4 (0) + 7 (0) + 2 + 8 + {(0)}^{2}$

Paso 12.3.3

$0$ del lado izquierdo es menor que $10$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 12.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$y < - 5$ Falso

$- 5 < y < - 2$ Verdadero

$y > - 2$ Falso

$y < - 5$ Falso

$- 5 < y < - 2$ Verdadero

$y > - 2$ Falso

Paso 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 5 \leq y \leq - 2$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 5 \leq y \leq - 2$

Notación de intervalo:

$[- 5, - 2]$

Paso 15