Álgebra Ejemplos

$y^{2} + 16 y - 4 x + 4 = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$16 y - 4 x + 4 = - y^{2}$

Paso 1.1.1.2

Resta $16 y$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x + 4 = - y^{2} - 16 y$

Paso 1.1.1.3

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x = - y^{2} - 16 y - 4$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $- 4 x = - y^{2} - 16 y - 4$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $- 4 x = - y^{2} - 16 y - 4$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{- 16 y}{- 4} + \frac{- 4}{- 4}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{- 16 y}{- 4} + \frac{- 4}{- 4}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{- 16 y}{- 4} + \frac{- 4}{- 4}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 16 y}{- 4} + \frac{- 4}{- 4}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Cancela el factor común de $- 16$ y $- 4$ .

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Paso 1.1.2.3.1.2.1

Factoriza $- 4$ de $- 16 y$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 (4 y)}{- 4} + \frac{- 4}{- 4}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.3.1.2.2.1

Factoriza $- 4$ de $- 4$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 (4 y)}{- 4 (1)} + \frac{- 4}{- 4}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 (4 y)}{- 4 \cdot 1} + \frac{- 4}{- 4}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 y}{1} + \frac{- 4}{- 4}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2.4

Divide $4 y$ por $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + 4 y + \frac{- 4}{- 4}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Divide $- 4$ por $- 4$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + 4 y + 1$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $\frac{y^{2}}{4} + 4 y + 1$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = 4$

$c = 1$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{2}{\frac{1}{4}}$

Paso 1.2.3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = 2 \cdot 4$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$d = 8$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{4^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Cancela el factor común de $4^{2}$ y $4$ .

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Paso 1.2.4.2.1.1.1

Factoriza $4$ de $4^{2}$ .

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$e = 1 - \frac{4}{\frac{1}{4}}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = 1 - (4 \cdot 4)$

Paso 1.2.4.2.1.3

Multiplica $- (4 \cdot 4)$ .

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Paso 1.2.4.2.1.3.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$e = 1 - 1 \cdot 16$

Paso 1.2.4.2.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$e = 1 - 16$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $16$ de $1$ .

$e = - 15$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{4} {(y + 8)}^{2} - 15$ .

$\frac{1}{4} {(y + 8)}^{2} - 15$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y + 8)}^{2} - 15$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 15$

$k = - 8$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 15, - 8)$

Paso 4

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 4.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 4.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Paso 4.3.2

Simplifica mediante la división de números.

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Paso 4.3.2.1

Divide $4$ por $4$ .

$\frac{1}{1}$

Paso 4.3.2.2

Divide $1$ por $1$ .

$1$

Paso 5

Obtén el foco.

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Paso 5.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 5.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 14, - 8)$

Paso 6