Álgebra Ejemplos

$y^{2} - 8 y + 8 x + 16 = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 8 y + 8 x + 16 = - y^{2}$

Paso 1.1.1.2

Suma $8 y$ a ambos lados de la ecuación.

$8 x + 16 = - y^{2} + 8 y$

Paso 1.1.1.3

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$8 x = - y^{2} + 8 y - 16$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $8 x = - y^{2} + 8 y - 16$ por $8$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $8 x = - y^{2} + 8 y - 16$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- y^{2}}{8} + \frac{8 y}{8} + \frac{- 16}{8}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- y^{2}}{8} + \frac{8 y}{8} + \frac{- 16}{8}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{8} + \frac{8 y}{8} + \frac{- 16}{8}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{y^{2}}{8} + \frac{8 y}{8} + \frac{- 16}{8}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 1.1.2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$x = - \frac{y^{2}}{8} + \frac{8 y}{8} + \frac{- 16}{8}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$x = - \frac{y^{2}}{8} + y + \frac{- 16}{8}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Divide $- 16$ por $8$ .

$x = - \frac{y^{2}}{8} + y - 2$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $- \frac{y^{2}}{8} + y - 2$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{1}{8}$

$b = 1$

$c = - 2$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 (- \frac{1}{8})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{8})}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{1}{2 (\frac{1}{8})}$

Paso 1.2.3.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{8}$ .

$d = - \frac{1}{\frac{2}{8}}$

Paso 1.2.3.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $8$ .

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Paso 1.2.3.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = - \frac{1}{\frac{2 (1)}{8}}$

Paso 1.2.3.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$d = - \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

Paso 1.2.3.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$d = - \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

Paso 1.2.3.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$d = - \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Paso 1.2.3.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - (1 \cdot 4)$

Paso 1.2.3.2.5

Multiplica $- (1 \cdot 4)$ .

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Paso 1.2.3.2.5.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Paso 1.2.3.2.5.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$d = - 4$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 2 - \frac{1^{2}}{4 (- \frac{1}{8})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = - 2 - \frac{1}{4 (- \frac{1}{8})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = - 2 - \frac{1}{- 4 (\frac{1}{8})}$

Paso 1.2.4.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{8}$ .

$e = - 2 - \frac{1}{\frac{- 4}{8}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1.3.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $8$ .

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Paso 1.2.4.2.1.3.1.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$e = - 2 - \frac{1}{\frac{4 (- 1)}{8}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$e = - 2 - \frac{1}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$e = - 2 - \frac{1}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$e = - 2 - \frac{1}{\frac{- 1}{2}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - 2 - \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Paso 1.2.4.2.1.4

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 1.2.4.2.1.4.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$e = - 2 - \frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{2}}$

Paso 1.2.4.2.1.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - 2 - - \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 1.2.4.2.1.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = - 2 - - (1 \cdot 2)$

Paso 1.2.4.2.1.6

Multiplica $- - (1 \cdot 2)$ .

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Paso 1.2.4.2.1.6.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$e = - 2 - (- 1 \cdot 2)$

Paso 1.2.4.2.1.6.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e = - 2 - - 2$

Paso 1.2.4.2.1.6.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$e = - 2 + 2$

Paso 1.2.4.2.2

Suma $- 2$ y $2$ .

$e = 0$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{1}{8} {(y - 4)}^{2} + 0$ .

$- \frac{1}{8} {(y - 4)}^{2} + 0$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = - \frac{1}{8} \cdot {(y - 4)}^{2} + 0$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{8}$

$h = 0$

$k = 4$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(0, 4)$

Paso 4

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 4.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 4.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{8})}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 4.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{8})}$

Paso 4.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{8})}$

Paso 4.3.2

Combina $4$ y $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{8}}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $4$ y $8$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Paso 4.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.3.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Paso 4.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Paso 4.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 4.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (1 \cdot 2)$

Paso 4.3.5

Multiplica $- (1 \cdot 2)$ .

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Paso 4.3.5.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2$

Paso 5

Obtén el foco.

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Paso 5.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 5.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 2, 4)$

Paso 6