Álgebra Ejemplos

$f (x) = x^{2} - 5 x - 7$

Paso 1

El mínimo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es positiva, el valor mínimo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín.}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 2

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{- 5}{2 (1)}$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{- 5}{2 (1)}$

Paso 2.3

Simplifica $- \frac{- 5}{2 (1)}$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = - \frac{- 5}{2}$

Paso 2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - - \frac{5}{2}$

Paso 2.3.3

Multiplica $- - \frac{5}{2}$ .

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1 (\frac{5}{2})$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Paso 3

Evalúa $f (\frac{5}{2})$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{5}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{5}{2}) = {(\frac{5}{2})}^{2} - 5 (\frac{5}{2}) - 7$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{5^{2}}{2^{2}} - 5 (\frac{5}{2}) - 7$

Paso 3.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{2^{2}} - 5 (\frac{5}{2}) - 7$

Paso 3.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - 5 (\frac{5}{2}) - 7$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $- 5 (\frac{5}{2})$ .

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Paso 3.2.1.4.1

Combina $- 5$ y $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{2} - 7$

Paso 3.2.1.4.2

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} - 7$

Paso 3.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} - 7$

Paso 3.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $\frac{25}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - (\frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 7$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $\frac{25}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 7$

Paso 3.2.2.3

Escribe $- 7$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 7}{1}$

Paso 3.2.2.4

Multiplica $\frac{- 7}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 3.2.2.5

Multiplica $\frac{- 7}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 7 \cdot 4}{4}$

Paso 3.2.2.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + \frac{- 7 \cdot 4}{4}$

Paso 3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25 - 25 \cdot 2 - 7 \cdot 4}{4}$

Paso 3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $- 25$ por $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25 - 50 - 7 \cdot 4}{4}$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $- 7$ por $4$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25 - 50 - 28}{4}$

Paso 3.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.5.1

Resta $50$ de $25$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 25 - 28}{4}$

Paso 3.2.5.2

Resta $28$ de $- 25$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 53}{4}$

Paso 3.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{53}{4}$

Paso 3.2.6

La respuesta final es $- \frac{53}{4}$ .

$- \frac{53}{4}$

Paso 4

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el mínimo.

$(\frac{5}{2}, - \frac{53}{4})$

Paso 5