Álgebra Ejemplos

$f (x) = 2 x^{2} - 10 x + 6$

Paso 1

El mínimo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es positiva, el valor mínimo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín.}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 2

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{- 10}{2 (2)}$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{- 10}{2 (2)}$

Paso 2.3

Simplifica $- \frac{- 10}{2 (2)}$ .

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $- 10$ y $2$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 2$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 5}{2 (2)}$

Paso 2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{- 5}{2}$

Paso 2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - - \frac{5}{2}$

Paso 2.3.3

Multiplica $- - \frac{5}{2}$ .

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1 (\frac{5}{2})$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Paso 3

Evalúa $f (\frac{5}{2})$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{5}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{5}{2}) = 2 {(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 6$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = 2 (\frac{5^{2}}{2^{2}}) - 10 (\frac{5}{2}) + 6$

Paso 3.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = 2 (\frac{25}{2^{2}}) - 10 (\frac{5}{2}) + 6$

Paso 3.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = 2 (\frac{25}{4}) - 10 (\frac{5}{2}) + 6$

Paso 3.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{5}{2}) = 2 (\frac{25}{2 (2)}) - 10 (\frac{5}{2}) + 6$

Paso 3.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5}{2}) = 2 (\frac{25}{2 \cdot 2}) - 10 (\frac{5}{2}) + 6$

Paso 3.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 6$

Paso 3.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.5.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{2} + 2 (- 5) (\frac{5}{2}) + 6$

Paso 3.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{2} + 2 \cdot (- 5 (\frac{5}{2})) + 6$

Paso 3.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{2} - 5 \cdot 5 + 6$

Paso 3.2.1.6

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{2} - 25 + 6$

Paso 3.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.2.2.1

Escribe $- 25$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{2} + \frac{- 25}{1} + 6$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $\frac{- 25}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{2} + \frac{- 25}{1} \cdot \frac{2}{2} + 6$

Paso 3.2.2.3

Multiplica $\frac{- 25}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{2} + \frac{- 25 \cdot 2}{2} + 6$

Paso 3.2.2.4

Escribe $6$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{2} + \frac{- 25 \cdot 2}{2} + \frac{6}{1}$

Paso 3.2.2.5

Multiplica $\frac{6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{2} + \frac{- 25 \cdot 2}{2} + \frac{6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.2.2.6

Multiplica $\frac{6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{2} + \frac{- 25 \cdot 2}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25 - 25 \cdot 2 + 6 \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $- 25$ por $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25 - 50 + 6 \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25 - 50 + 12}{2}$

Paso 3.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.5.1

Resta $50$ de $25$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 25 + 12}{2}$

Paso 3.2.5.2

Suma $- 25$ y $12$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 13}{2}$

Paso 3.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{13}{2}$

Paso 3.2.6

La respuesta final es $- \frac{13}{2}$ .

$- \frac{13}{2}$

Paso 4

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el mínimo.

$(\frac{5}{2}, - \frac{13}{2})$

Paso 5