Álgebra Ejemplos

$V = \frac{4}{3} π r^{3}$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$V = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3})$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d V} (V) = \frac{d}{d V} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3}))$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ es $n V^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 4.1.1

Combina $π$ y $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d}{d V} [\frac{π \cdot 4}{3} \cdot r^{3}]$

Paso 4.1.2

Combina fracciones.

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Paso 4.1.2.1

Combina $\frac{π \cdot 4}{3}$ y $r^{3}$ .

$\frac{d}{d V} [\frac{π \cdot 4 r^{3}}{3}]$

Paso 4.1.2.2

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{d}{d V} [\frac{4 \cdot π r^{3}}{3}]$

Paso 4.1.3

Como $\frac{4 π}{3}$ es constante con respecto a $V$ , la derivada de $\frac{4 π r^{3}}{3}$ con respecto a $V$ es $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d V} [r^{3}]$ .

$\frac{4 π}{3} \frac{d}{d V} [r^{3}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d V} [f (g (V))]$ es $f' (g (V)) g' (V)$ donde $f (V) = V^{3}$ y $g (V) = r$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $r$ .

$\frac{4 π}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d V} [r])$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{4 π}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d V} [r])$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $r$ .

$\frac{4 π}{3} (3 r^{2} \frac{d}{d V} [r])$

Paso 4.3

Simplifica los términos.

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Paso 4.3.1

Combina $3$ y $\frac{4 π}{3}$ .

$\frac{3 (4 π)}{3} (r^{2} \frac{d}{d V} [r])$

Paso 4.3.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{12 π}{3} (r^{2} \frac{d}{d V} [r])$

Paso 4.3.3

Combina $r^{2}$ y $\frac{12 π}{3}$ .

$\frac{r^{2} (12 π)}{3} \frac{d}{d V} [r]$

Paso 4.3.4

Mueve $12$ a la izquierda de $r^{2}$ .

$\frac{12 \cdot r^{2} π}{3} \frac{d}{d V} [r]$

Paso 4.3.5

Cancela el factor común de $12$ y $3$ .

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Paso 4.3.5.1

Factoriza $3$ de $12 r^{2} π$ .

$\frac{3 (4 r^{2} π)}{3} \frac{d}{d V} [r]$

Paso 4.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.5.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (4 r^{2} π)}{3 (1)} \frac{d}{d V} [r]$

Paso 4.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (4 r^{2} π)}{3 \cdot 1} \frac{d}{d V} [r]$

Paso 4.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 r^{2} π}{1} \frac{d}{d V} [r]$

Paso 4.3.5.2.4

Divide $4 r^{2} π$ por $1$ .

$4 r^{2} π \frac{d}{d V} [r]$

Paso 4.4

Reescribe $\frac{d}{d V} [r]$ como $r'$ .

$4 r^{2} π r'$

Paso 4.5

Reordena los factores de $4 r^{2} π r'$ .

$4 π r^{2} r'$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = 4 π r^{2} r'$

Paso 6

Resuelve $r'$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $4 π r^{2} r' = 1$ .

$4 π r^{2} r' = 1$

Paso 6.2

Divide cada término en $4 π r^{2} r' = 1$ por $4 π r^{2}$ y simplifica.

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Paso 6.2.1

Divide cada término en $4 π r^{2} r' = 1$ por $4 π r^{2}$ .

$\frac{4 π r^{2} r'}{4 π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 π r^{2} r'}{4 π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Paso 6.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{π r^{2} r'}{π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{π r^{2} r'}{π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Paso 6.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{r^{2} r'}{r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Cancela el factor común de $r^{2}$ .

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Paso 6.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{r^{2} r'}{r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Paso 6.2.2.3.2

Divide $r'$ por $1$ .

$r' = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Paso 7

Reemplaza $r'$ con $\frac{d r}{d V}$ .

$\frac{d r}{d V} = \frac{1}{4 π r^{2}}$