Álgebra Ejemplos

$25 x^{2} + y^{2} - 100 x - 2 y + 76 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resta $76$ de ambos lados de la ecuación.

$25 x^{2} + y^{2} - 100 x - 2 y = - 76$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $25 x^{2} - 100 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 25$

$b = - 100$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 100}{2 \cdot 25}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 100$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 100$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (25)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 50}{25}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 50$ y $25$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $25$ de $- 50$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.2.2.1

Factoriza $25$ de $25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 (1)}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 2}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 100$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $10000$ por $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $100$ .

$e = 0 - 100$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $100$ de $0$ .

$e = - 100$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $25 {(x - 2)}^{2} - 100$ .

$25 {(x - 2)}^{2} - 100$

Paso 1.3

Sustituye $25 {(x - 2)}^{2} - 100$ por $25 x^{2} - 100 x$ en la ecuación $25 x^{2} + y^{2} - 100 x - 2 y = - 76$ .

$25 {(x - 2)}^{2} - 100 + y^{2} - 2 y = - 76$

Paso 1.4

Mueve $- 100$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $100$ a ambos lados.

$25 {(x - 2)}^{2} + y^{2} - 2 y = - 76 + 100$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $y^{2} - 2 y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{1}$

Paso 1.5.3.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 1.5.4.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e = 0 - 1$

Paso 1.5.4.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y - 1)}^{2} - 1$ .

${(y - 1)}^{2} - 1$

Paso 1.6

Sustituye ${(y - 1)}^{2} - 1$ por $y^{2} - 2 y$ en la ecuación $25 x^{2} + y^{2} - 100 x - 2 y = - 76$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} - 1 = - 76 + 100$

Paso 1.7

Mueve $- 1$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $1$ a ambos lados.

$25 {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = - 76 + 100 + 1$

Paso 1.8

Simplifica $- 76 + 100 + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.1

Suma $- 76$ y $100$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 24 + 1$

Paso 1.8.2

Suma $24$ y $1$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 25$

Paso 1.9

Divide cada término por $25$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{25 {(x - 2)}^{2}}{25} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{25} = \frac{25}{25}$

Paso 1.10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

${(x - 2)}^{2} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{25} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 5$

$b = 1$

$k = 1$

$h = 2$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(2, 1)$

Paso 5