Álgebra Ejemplos

$- 12 (y - 2) = {(x + 1)}^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $- 12 (y - 2) = {(x + 1)}^{2}$ por $- 12$ y simplifica.

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Paso 1.1.1.1

Divide cada término en $- 12 (y - 2) = {(x + 1)}^{2}$ por $- 12$ .

$\frac{- 12 (y - 2)}{- 12} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{- 12}$

Paso 1.1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.1.2.1

Cancela el factor común de $- 12$ .

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Paso 1.1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 12 (y - 2)}{- 12} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{- 12}$

Paso 1.1.1.2.1.2

Divide $y - 2$ por $1$ .

$y - 2 = \frac{{(x + 1)}^{2}}{- 12}$

Paso 1.1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 2 = - \frac{{(x + 1)}^{2}}{12}$

Paso 1.1.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{{(x + 1)}^{2}}{12} + 2$

Paso 1.1.3

Reordena los términos.

$y = - \frac{1}{12} \cdot {(x + 1)}^{2} + 2$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $- \frac{1}{12} \cdot {(x + 1)}^{2} + 2$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.1

Reescribe ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$- \frac{1}{12} \cdot ((x + 1) (x + 1)) + 2$

Paso 1.2.1.1.2

Expande $(x + 1) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{12} \cdot (x (x + 1) + 1 (x + 1)) + 2$

Paso 1.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{12} \cdot (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) + 2$

Paso 1.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{12} \cdot (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + 2$

Paso 1.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + 2$

Paso 1.2.1.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) + 2$

Paso 1.2.1.1.3.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) + 2$

Paso 1.2.1.1.3.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} + x + x + 1) + 2$

Paso 1.2.1.1.3.2

Suma $x$ y $x$ .

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} + 2 x + 1) + 2$

Paso 1.2.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{12} x^{2} - \frac{1}{12} (2 x) - \frac{1}{12} \cdot 1 + 2$

Paso 1.2.1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.2.1.1.5.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{12}$ .

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{1}{12} (2 x) - \frac{1}{12} \cdot 1 + 2$

Paso 1.2.1.1.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.1.1.5.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{12}$ al numerador.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{12} (2 x) - \frac{1}{12} \cdot 1 + 2$

Paso 1.2.1.1.5.2.2

Factoriza $2$ de $12$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{2 (6)} (2 x) - \frac{1}{12} \cdot 1 + 2$

Paso 1.2.1.1.5.2.3

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{2 (6)} (2 (x)) - \frac{1}{12} \cdot 1 + 2$

Paso 1.2.1.1.5.2.4

Cancela el factor común.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{2 \cdot 6} (2 x) - \frac{1}{12} \cdot 1 + 2$

Paso 1.2.1.1.5.2.5

Reescribe la expresión.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{6} x - \frac{1}{12} \cdot 1 + 2$

Paso 1.2.1.1.5.3

Combina $\frac{- 1}{6}$ y $x$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- x}{6} - \frac{1}{12} \cdot 1 + 2$

Paso 1.2.1.1.5.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- x}{6} - \frac{1}{12} + 2$

Paso 1.2.1.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} - \frac{1}{12} + 2$

Paso 1.2.1.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{12}{12}$ .

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} - \frac{1}{12} + 2 \cdot \frac{12}{12}$

Paso 1.2.1.3

Combina $2$ y $\frac{12}{12}$ .

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} - \frac{1}{12} + \frac{2 \cdot 12}{12}$

Paso 1.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{- 1 + 2 \cdot 12}{12}$

Paso 1.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.1.5.1

Multiplica $2$ por $12$ .

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{- 1 + 24}{12}$

Paso 1.2.1.5.2

Suma $- 1$ y $24$ .

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{23}{12}$

Paso 1.2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{1}{12}$

$b = - \frac{1}{6}$

$c = \frac{23}{12}$

Paso 1.2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{1}{6}}{2 (- \frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$d = \frac{\frac{1}{6}}{2 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2.3

Combina $2$ y $\frac{1}{12}$ .

$d = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2}{12}}$

Paso 1.2.4.2.4

Cancela el factor común de $2$ y $12$ .

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Paso 1.2.4.2.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{12}}$

Paso 1.2.4.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$d = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Paso 1.2.4.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Paso 1.2.4.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{1}{6}}$

Paso 1.2.4.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{1}{6} (1 \cdot 6)$

Paso 1.2.4.2.6

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 1.2.4.2.6.1

Factoriza $6$ de $1 \cdot 6$ .

$d = \frac{1}{6} (6 \cdot 1)$

Paso 1.2.4.2.6.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{1}{6} (6 \cdot 1)$

Paso 1.2.4.2.6.3

Reescribe la expresión.

$d = 1$

Paso 1.2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{23}{12} - \frac{{(- \frac{1}{6})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Paso 1.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.5.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{6}$ .

$e = \frac{23}{12} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{6})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{23}{12} - \frac{1 {(\frac{1}{6})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{6}$ .

$e = \frac{23}{12} - \frac{1 \frac{1^{2}}{6^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = \frac{23}{12} - \frac{1 \frac{1}{6^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.5

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{23}{12} - \frac{1 (\frac{1}{36})}{4 (- \frac{1}{12})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.6

Multiplica $\frac{1}{36}$ por $1$ .

$e = \frac{23}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Paso 1.2.5.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.5.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = \frac{23}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{- 4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.5.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{12}$ .

$e = \frac{23}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{- 4}{12}}$

Paso 1.2.5.2.1.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.2.5.2.1.3.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $12$ .

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Paso 1.2.5.2.1.3.1.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$e = \frac{23}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{4 (- 1)}{12}}$

Paso 1.2.5.2.1.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.5.2.1.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$e = \frac{23}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Paso 1.2.5.2.1.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{23}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Paso 1.2.5.2.1.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{23}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{- 1}{3}}$

Paso 1.2.5.2.1.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = \frac{23}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{- \frac{1}{3}}$

Paso 1.2.5.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = \frac{23}{12} - (\frac{1}{36} (- 1 \cdot 3))$

Paso 1.2.5.2.1.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.5.2.1.5.1

Factoriza $3$ de $36$ .

$e = \frac{23}{12} - (\frac{1}{3 (12)} (- 1 \cdot 3))$

Paso 1.2.5.2.1.5.2

Factoriza $3$ de $- 1 \cdot 3$ .

$e = \frac{23}{12} - (\frac{1}{3 (12)} (3 \cdot - 1))$

Paso 1.2.5.2.1.5.3

Cancela el factor común.

$e = \frac{23}{12} - (\frac{1}{3 \cdot 12} (3 \cdot - 1))$

Paso 1.2.5.2.1.5.4

Reescribe la expresión.

$e = \frac{23}{12} - (\frac{1}{12} \cdot - 1)$

Paso 1.2.5.2.1.6

Combina $\frac{1}{12}$ y $- 1$ .

$e = \frac{23}{12} - \frac{- 1}{12}$

Paso 1.2.5.2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = \frac{23}{12} - - \frac{1}{12}$

Paso 1.2.5.2.1.8

Multiplica $- - \frac{1}{12}$ .

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Paso 1.2.5.2.1.8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = \frac{23}{12} + 1 (\frac{1}{12})$

Paso 1.2.5.2.1.8.2

Multiplica $\frac{1}{12}$ por $1$ .

$e = \frac{23}{12} + \frac{1}{12}$

Paso 1.2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{23 + 1}{12}$

Paso 1.2.5.2.3

Suma $23$ y $1$ .

$e = \frac{24}{12}$

Paso 1.2.5.2.4

Divide $24$ por $12$ .

$e = 2$

Paso 1.2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{1}{12} {(x + 1)}^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{12} {(x + 1)}^{2} + 2$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - \frac{1}{12} \cdot {(x + 1)}^{2} + 2$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{12}$

$h = - 1$

$k = 2$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 1, 2)$

Paso 4

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 4.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 4.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{12})}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 4.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{12})}$

Paso 4.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 4.3.2

Combina $4$ y $\frac{1}{12}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{12}}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $4$ y $12$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{12}}$

Paso 4.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.3.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Paso 4.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Paso 4.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Paso 4.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (1 \cdot 3)$

Paso 4.3.5

Multiplica $- (1 \cdot 3)$ .

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$- 1 \cdot 3$

Paso 4.3.5.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3$

Paso 5

Obtén la directriz.

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Paso 5.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 5.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = 5$

Paso 6