Álgebra Ejemplos

$y = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{6} y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{6} y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9} = x$ .

$\frac{1}{6} y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9} = x$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9} = x$

Paso 2.2.2

Combina $y$ y $\frac{4}{3}$ .

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{y \cdot 4}{3} + \frac{43}{9} = x$

Paso 2.2.3

Mueve $4$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{4 y}{3} + \frac{43}{9} = x$

Paso 2.3

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{4 y}{3} + \frac{43}{9} - x = 0$

Paso 2.4

Multiplica por el mínimo común denominador $18$ , luego simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$18 (\frac{y^{2}}{6}) + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Paso 2.4.2

Simplifica.

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Factoriza $6$ de $18$ .

$6 (3) (\frac{y^{2}}{6}) + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Paso 2.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$6 \cdot (3 (\frac{y^{2}}{6})) + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Paso 2.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$3 y^{2} + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Paso 2.4.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4 y}{3}$ al numerador.

$3 y^{2} + 18 (\frac{- 4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Paso 2.4.2.2.2

Factoriza $3$ de $18$ .

$3 y^{2} + 3 (6) (\frac{- 4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Paso 2.4.2.2.3

Cancela el factor común.

$3 y^{2} + 3 \cdot (6 (\frac{- 4 y}{3})) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Paso 2.4.2.2.4

Reescribe la expresión.

$3 y^{2} + 6 (- 4 y) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Paso 2.4.2.3

Multiplica $- 4$ por $6$ .

$3 y^{2} - 24 y + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Paso 2.4.2.4

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 2.4.2.4.1

Factoriza $9$ de $18$ .

$3 y^{2} - 24 y + 9 (2) (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Paso 2.4.2.4.2

Cancela el factor común.

$3 y^{2} - 24 y + 9 \cdot (2 (\frac{43}{9})) + 18 (- x) = 0$

Paso 2.4.2.4.3

Reescribe la expresión.

$3 y^{2} - 24 y + 2 \cdot 43 + 18 (- x) = 0$

Paso 2.4.2.5

Multiplica $2$ por $43$ .

$3 y^{2} - 24 y + 86 + 18 (- x) = 0$

Paso 2.4.2.6

Multiplica $- 1$ por $18$ .

$3 y^{2} - 24 y + 86 - 18 x = 0$

Paso 2.4.3

Mueve $86$ .

$3 y^{2} - 24 y - 18 x + 86 = 0$

Paso 2.4.4

Mueve $- 24 y$ .

$3 y^{2} - 18 x - 24 y + 86 = 0$

Paso 2.5

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.6

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = - 24$ y $c = - 18 x + 86$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- 18 x + 86))}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7

Simplifica.

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Paso 2.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1.1

Eleva $- 24$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 (- 18 x) - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.4

Multiplica $- 18$ por $- 12$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.5

Multiplica $- 12$ por $86$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 1032}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.6

Resta $1032$ de $576$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{216 x - 456}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.7

Factoriza $24$ de $216 x - 456$ .

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Paso 2.7.1.7.1

Factoriza $24$ de $216 x$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) - 456}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.7.2

Factoriza $24$ de $- 456$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) + 24 (- 19)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.7.3

Factoriza $24$ de $24 (9 x) + 24 (- 19)$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.8

Reescribe $24 (9 x - 19)$ como $2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))$ .

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Paso 2.7.1.8.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{4 (6) (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (9 x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.8.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.8.4

Agrega paréntesis.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (3^{2} x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.10

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$

Paso 2.7.3

Simplifica $\frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Paso 2.8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.1.1

Eleva $- 24$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 (- 18 x) - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.4

Multiplica $- 18$ por $- 12$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.5

Multiplica $- 12$ por $86$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 1032}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.6

Resta $1032$ de $576$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{216 x - 456}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.7

Factoriza $24$ de $216 x - 456$ .

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Paso 2.8.1.7.1

Factoriza $24$ de $216 x$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) - 456}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.7.2

Factoriza $24$ de $- 456$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) + 24 (- 19)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.7.3

Factoriza $24$ de $24 (9 x) + 24 (- 19)$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.8

Reescribe $24 (9 x - 19)$ como $2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))$ .

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Paso 2.8.1.8.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{4 (6) (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (9 x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.8.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.8.4

Agrega paréntesis.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (3^{2} x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.10

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$

Paso 2.8.3

Simplifica $\frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Paso 2.8.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Paso 2.9

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1.1

Eleva $- 24$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.9.1.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.9.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 (- 18 x) - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.9.1.4

Multiplica $- 18$ por $- 12$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.9.1.5

Multiplica $- 12$ por $86$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 1032}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.9.1.6

Resta $1032$ de $576$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{216 x - 456}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.9.1.7

Factoriza $24$ de $216 x - 456$ .

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Paso 2.9.1.7.1

Factoriza $24$ de $216 x$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) - 456}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.9.1.7.2

Factoriza $24$ de $- 456$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) + 24 (- 19)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.9.1.7.3

Factoriza $24$ de $24 (9 x) + 24 (- 19)$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.9.1.8

Reescribe $24 (9 x - 19)$ como $2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))$ .

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Paso 2.9.1.8.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{4 (6) (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.9.1.8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (9 x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.9.1.8.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.9.1.8.4

Agrega paréntesis.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.9.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (3^{2} x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.9.1.10

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.9.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$

Paso 2.9.3

Simplifica $\frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Paso 2.9.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Paso 2.10

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

$y = \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

$y = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

$y = \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ .

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Paso 4.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ y $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ y compáralos.

Paso 4.2

Obtén el rango de $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ .

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Paso 4.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[\frac{19}{9}, \infty)$

Paso 4.3

Obtén el dominio de $\frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ .

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Paso 4.3.1

Establece el radicando en $\sqrt{6 (9 x - 19)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$6 (9 x - 19) \geq 0$

Paso 4.3.2

Resuelve $x$

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Paso 4.3.2.1

Divide cada término en $6 (9 x - 19) \geq 0$ por $6$ y simplifica.

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Paso 4.3.2.1.1

Divide cada término en $6 (9 x - 19) \geq 0$ por $6$ .

$\frac{6 (9 x - 19)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Paso 4.3.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.1.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 4.3.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 (9 x - 19)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Paso 4.3.2.1.2.1.2

Divide $9 x - 19$ por $1$ .

$9 x - 19 \geq \frac{0}{6}$

Paso 4.3.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.1.3.1

Divide $0$ por $6$ .

$9 x - 19 \geq 0$

Paso 4.3.2.2

Suma $19$ a ambos lados de la desigualdad.

$9 x \geq 19$

Paso 4.3.2.3

Divide cada término en $9 x \geq 19$ por $9$ y simplifica.

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Paso 4.3.2.3.1

Divide cada término en $9 x \geq 19$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} \geq \frac{19}{9}$

Paso 4.3.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.3.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 4.3.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x}{9} \geq \frac{19}{9}$

Paso 4.3.2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{19}{9}$

Paso 4.3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[\frac{19}{9}, \infty)$

Paso 4.4

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ .

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Paso 4.4.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Paso 4.5

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ es el rango de $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ y el rango de $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ es el dominio de $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Paso 5