Álgebra Ejemplos

$\frac{(6 x + 5)}{x^{2} - 5 x + 6}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2} - 5 x + 6$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 3, - 2$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{6 x + 5}{(x - 3) (x - 2)}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 3}$

Paso 1.3

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x - 2}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x - 3) (x - 2)$ .

$\frac{(6 x + 5) (x - 3) (x - 2)}{(x - 3) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(6 x + 5) (x - 3) (x - 2)}{(x - 3) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(6 x + 5) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(6 x + 5) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 1.6.2

Divide $6 x + 5$ por $1$ .

$6 x + 5 = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 1.7.1.1

Cancela el factor común.

$6 x + 5 = \frac{A (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 1.7.1.2

Divide $(A) (x - 2)$ por $1$ .

$6 x + 5 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x + 5 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 1.7.3

Mueve $- 2$ a la izquierda de $A$ .

$6 x + 5 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 1.7.4

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 1.7.4.1

Cancela el factor común.

$6 x + 5 = A x - 2 A + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 1.7.4.2

Divide $(B) (x - 3)$ por $1$ .

$6 x + 5 = A x - 2 A + (B) (x - 3)$

Paso 1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x + 5 = A x - 2 A + B x + B \cdot - 3$

Paso 1.7.6

Mueve $- 3$ a la izquierda de $B$ .

$6 x + 5 = A x - 2 A + B x - 3 B$

Paso 1.8

Mueve $- 2 A$ .

$6 x + 5 = A x + B x - 2 A - 3 B$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$6 = A + B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$5 = - 2 A - 3 B$

Paso 2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$6 = A + B$

$5 = - 2 A - 3 B$

$6 = A + B$

$5 = - 2 A - 3 B$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $6 = A + B$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 6$ .

$A + B = 6$

$5 = - 2 A - 3 B$

Paso 3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 6 - B$

$5 = - 2 A - 3 B$

$A = 6 - B$

$5 = - 2 A - 3 B$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $6 - B$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $5 = - 2 A - 3 B$ por $6 - B$ .

$5 = - 2 (6 - B) - 3 B$

$A = 6 - B$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $- 2 (6 - B) - 3 B$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 = - 2 \cdot 6 - 2 (- B) - 3 B$

$A = 6 - B$

Paso 3.2.2.1.1.2

Multiplica $- 2$ por $6$ .

$5 = - 12 - 2 (- B) - 3 B$

$A = 6 - B$

Paso 3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$5 = - 12 + 2 B - 3 B$

$A = 6 - B$

$5 = - 12 + 2 B - 3 B$

$A = 6 - B$

Paso 3.2.2.1.2

Resta $3 B$ de $2 B$ .

$5 = - 12 - B$

$A = 6 - B$

$5 = - 12 - B$

$A = 6 - B$

$5 = - 12 - B$

$A = 6 - B$

$5 = - 12 - B$

$A = 6 - B$

Paso 3.3

Resuelve $B$ en $5 = - 12 - B$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 12 - B = 5$ .

$- 12 - B = 5$

$A = 6 - B$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$- B = 5 + 12$

$A = 6 - B$

Paso 3.3.2.2

Suma $5$ y $12$ .

$- B = 17$

$A = 6 - B$

$- B = 17$

$A = 6 - B$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $- B = 17$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $- B = 17$ por $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{17}{- 1}$

$A = 6 - B$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{17}{- 1}$

$A = 6 - B$

Paso 3.3.3.2.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{17}{- 1}$

$A = 6 - B$

$B = \frac{17}{- 1}$

$A = 6 - B$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

Divide $17$ por $- 1$ .

$B = - 17$

$A = 6 - B$

$B = - 17$

$A = 6 - B$

$B = - 17$

$A = 6 - B$

$B = - 17$

$A = 6 - B$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $- 17$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 6 - B$ por $- 17$ .

$A = 6 - (- 17)$

$B = - 17$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $6 - (- 17)$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 17$ .

$A = 6 + 17$

$B = - 17$

Paso 3.4.2.1.2

Suma $6$ y $17$ .

$A = 23$

$B = - 17$

$A = 23$

$B = - 17$

$A = 23$

$B = - 17$

$A = 23$

$B = - 17$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = 23, B = - 17$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x - 2}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{23}{x - 3} + \frac{- 17}{x - 2}$