Álgebra Ejemplos

$c (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$2 {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} - 1$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = - 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$2 \cdot - 1 + 3 {(- 1)}^{2} - 1$

Paso 4.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 + 3 {(- 1)}^{2} - 1$

Paso 4.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Suma $- 2$ y $3$ .

$1 - 1$

Paso 4.2.2

Resta $1$ de $1$ .

$0$

Paso 5

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 1}{x + 1}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$

	$2$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(- 2)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(3)$ .

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$
		$- 2$
	$2$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$
		$- 2$
	$2$	$1$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(- 1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$
		$- 2$	$- 1$
	$2$	$1$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$
		$- 2$	$- 1$
	$2$	$1$	$- 1$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 1)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$
		$- 2$	$- 1$	$1$
	$2$	$1$	$- 1$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$
		$- 2$	$- 1$	$1$
	$2$	$1$	$- 1$	$0$

Paso 6.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$2 x^{2} + 1 x - 1$

Paso 6.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$2 x^{2} + x - 1$

Paso 7

Factoriza por agrupación.

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Paso 7.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 7.1.1

Multiplica por $1$ .

$(x + 1) + 2 x^{2} + 1 x - 1$

Paso 7.1.2

Reescribe $1$ como $- 1$ más $2$

$(x + 1) + 2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1$

Paso 7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 1) + 2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1$

Paso 7.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + 1) (2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1$

Paso 7.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + 1) + x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)$

Paso 7.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$(x + 1) + (2 x - 1) (x + 1)$

$(x + 1) (2 x - 1) (x + 1)$

Paso 8

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 8.1

Factoriza $2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 8.1.1

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 8.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5$

Paso 8.1.3

Sustituye $- 1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 8.1.3.1

Sustituye $- 1$ en el polinomio.

$2 {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} - 1$

Paso 8.1.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$2 \cdot - 1 + 3 {(- 1)}^{2} - 1$

Paso 8.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 + 3 {(- 1)}^{2} - 1$

Paso 8.1.3.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

Paso 8.1.3.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Paso 8.1.3.6

Suma $- 2$ y $3$ .

$1 - 1$

Paso 8.1.3.7

Resta $1$ de $1$ .

$0$

Paso 8.1.4

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 1}{x + 1}$

Paso 8.1.5

Divide $2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$ por $x + 1$ .

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Paso 8.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

Paso 8.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Paso 8.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Paso 8.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Paso 8.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Paso 8.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$

Paso 8.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$

Paso 8.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Paso 8.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Paso 8.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$

Paso 8.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	-	$1$

Paso 8.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	-	$1$

Paso 8.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	-	$1$
							-	$x$	-	$1$

Paso 8.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x - 1$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	-	$1$
							+	$x$	+	$1$

Paso 8.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	-	$1$
							+	$x$	+	$1$
										$0$

Paso 8.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$2 x^{2} + x - 1$

Paso 8.1.6

Escribe $2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$ como un conjunto de factores.

$(x + 1) (2 x^{2} + x - 1) = 0$

Paso 8.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 8.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 8.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 8.2.1.1.1

Multiplica por $1$ .

$(x + 1) (2 x^{2} + 1 x - 1) = 0$

Paso 8.2.1.1.2

Reescribe $1$ como $- 1$ más $2$

$(x + 1) (2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1) = 0$

Paso 8.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 1) (2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1) = 0$

Paso 8.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 8.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + 1) ((2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1) = 0$

Paso 8.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + 1) (x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)) = 0$

Paso 8.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$(x + 1) ((2 x - 1) (x + 1)) = 0$

Paso 8.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 1) (2 x - 1) (x + 1) = 0$

Paso 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 10

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 10.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 11

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Paso 11.2

Resuelve $2 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 11.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 11.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 11.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 11.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 12

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (2 x - 1) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = - 1, \frac{1}{2}$

Paso 13