Álgebra Ejemplos

$f (x) = 4 x^{2} - 25$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}, \pm \frac{25}{4}$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$4 {(\frac{5}{2})}^{2} - 25$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = \frac{5}{2}$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$4 \frac{5^{2}}{2^{2}} - 25$

Paso 4.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$4 \frac{25}{2^{2}} - 25$

Paso 4.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 (\frac{25}{4}) - 25$

Paso 4.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.1.4.1

Cancela el factor común.

$4 (\frac{25}{4}) - 25$

Paso 4.1.4.2

Reescribe la expresión.

$25 - 25$

Paso 4.2

Resta $25$ de $25$ .

$0$

Paso 5

Como $\frac{5}{2}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - \frac{5}{2}$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{4 x^{2} - 25}{x - \frac{5}{2}}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(4)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$

	$4$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(\frac{5}{2})$ y coloca el resultado de $(10)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$
		$10$
	$4$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$
		$10$
	$4$	$10$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(10)$ por el divisor $(\frac{5}{2})$ y coloca el resultado de $(25)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 25)$ .

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$
		$10$	$25$
	$4$	$10$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$
		$10$	$25$
	$4$	$10$	$0$

Paso 6.7

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$(4) x + 10$

Paso 6.8

Simplifica el polinomio del cociente.

$4 x + 10$

Paso 7

Factoriza $2$ de $4 x + 10$ .

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Paso 7.1

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$(x - \frac{5}{2}) (2 (2 x) + 10)$

Paso 7.2

Factoriza $2$ de $10$ .

$(x - \frac{5}{2}) (2 (2 x) + 2 (5))$

Paso 7.3

Factoriza $2$ de $2 (2 x) + 2 (5)$ .

$(x - \frac{5}{2}) (2 (2 x + 5))$

Paso 8

Suma $25$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} = 25$

Paso 9

Divide cada término en $4 x^{2} = 25$ por $4$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $4 x^{2} = 25$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Paso 9.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4}$

Paso 10

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Paso 11

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

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Paso 11.1

Reescribe $\sqrt{\frac{25}{4}}$ como $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Paso 11.2

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Paso 11.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Paso 11.3

Simplifica el denominador.

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Paso 11.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 11.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{5}{2}$

Paso 12

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 12.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{5}{2}$

Paso 12.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{5}{2}$

Paso 12.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Paso 13