Álgebra Ejemplos

$f (x) = x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 13, \pm 65$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 5, \pm 13, \pm 65$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(5)}^{3} - 11 {(5)}^{2} + 43 (5) - 65$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 5$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$125 - 11 {(5)}^{2} + 43 (5) - 65$

Paso 4.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$125 - 11 \cdot 25 + 43 (5) - 65$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 11$ por $25$ .

$125 - 275 + 43 (5) - 65$

Paso 4.1.4

Multiplica $43$ por $5$ .

$125 - 275 + 215 - 65$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Resta $275$ de $125$ .

$- 150 + 215 - 65$

Paso 4.2.2

Suma $- 150$ y $215$ .

$65 - 65$

Paso 4.2.3

Resta $65$ de $65$ .

$0$

Paso 5

Como $5$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 5$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65}{x - 5}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(5)$ y coloca el resultado de $(5)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 11)$ .

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$
	$1$	$- 6$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 6)$ por el divisor $(5)$ y coloca el resultado de $(- 30)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(43)$ .

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$
	$1$	$- 6$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$
	$1$	$- 6$	$13$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(13)$ por el divisor $(5)$ y coloca el resultado de $(65)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 65)$ .

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$	$65$
	$1$	$- 6$	$13$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$	$65$
	$1$	$- 6$	$13$	$0$

Paso 6.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{2} + - 6 x + 13$

Paso 6.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{2} - 6 x + 13$

Paso 7

Resuelve la ecuación para obtener las raíces restantes.

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Paso 7.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 6$ y $c = 13$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Paso 7.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.3

Resta $52$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.4

Reescribe $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (16)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.7

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Paso 7.3.3

Simplifica $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Paso 7.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 7.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Paso 7.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.3

Resta $52$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.4

Reescribe $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (16)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.7

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Paso 7.4.3

Simplifica $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Paso 7.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 3 + 2 i$

Paso 7.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 7.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.5.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Paso 7.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.3

Resta $52$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.4

Reescribe $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (16)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.7

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Paso 7.5.3

Simplifica $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Paso 7.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 3 - 2 i$

Paso 7.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 3 + 2 i, 3 - 2 i$

Paso 8

El polinomio puede escribirse como un conjunto de factores lineales.

$(x - 5) (x - 3 - 2 i) (x - 3 + 2 i)$

Paso 9

Estas son las raíces (ceros) del polinomio $x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$ .

$x = 5, 3 + 2 i, 3 - 2 i$

Paso 10