Álgebra Ejemplos

$f (x) = x^{3} - 111 x + 110$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10, \pm 11, \pm 22, \pm 55, \pm 110$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10, \pm 11, \pm 22, \pm 55, \pm 110$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(1)}^{3} - 111 \cdot 1 + 110$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 111 \cdot 1 + 110$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 111$ por $1$ .

$1 - 111 + 110$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Resta $111$ de $1$ .

$- 110 + 110$

Paso 4.2.2

Suma $- 110$ y $110$ .

$0$

Paso 5

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 111 x + 110}{x - 1}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$
		$1$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$
		$1$
	$1$	$1$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 111)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$
		$1$	$1$
	$1$	$1$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$
		$1$	$1$
	$1$	$1$	$- 110$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 110)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(- 110)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(110)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$
		$1$	$1$	$- 110$
	$1$	$1$	$- 110$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$
		$1$	$1$	$- 110$
	$1$	$1$	$- 110$	$0$

Paso 6.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{2} + 1 x - 110$

Paso 6.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{2} + x - 110$

Paso 7

Factoriza $x^{2} + x - 110$ con el método AC.

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Paso 7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 110$ y cuya suma es $1$ .

$- 10, 11$

Paso 7.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 1) + (x - 10) (x + 11)$

$(x - 1) (x - 10) (x + 11)$

Paso 8

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 8.1

Factoriza $x^{3} - 111 x + 110$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 8.1.1

$p = \pm 1, \pm 110, \pm 2, \pm 55, \pm 5, \pm 22, \pm 10, \pm 11$

$q = \pm 1$

Paso 8.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 110, \pm 2, \pm 55, \pm 5, \pm 22, \pm 10, \pm 11$

Paso 8.1.3

Sustituye $1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 8.1.3.1

Sustituye $1$ en el polinomio.

$1^{3} - 111 \cdot 1 + 110$

Paso 8.1.3.2

Eleva $1$ a la potencia de $3$ .

$1 - 111 \cdot 1 + 110$

Paso 8.1.3.3

Multiplica $- 111$ por $1$ .

$1 - 111 + 110$

Paso 8.1.3.4

Resta $111$ de $1$ .

$- 110 + 110$

Paso 8.1.3.5

Suma $- 110$ y $110$ .

$0$

Paso 8.1.4

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 111 x + 110}{x - 1}$

Paso 8.1.5

Divide $x^{3} - 111 x + 110$ por $x - 1$ .

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Paso 8.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$111 x$

$110$

Paso 8.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$

Paso 8.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 8.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 8.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Paso 8.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$

Paso 8.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$

Paso 8.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Paso 8.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} - x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Paso 8.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$110 x$

Paso 8.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$110 x$	+	$110$

Paso 8.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 110 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$110$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$110 x$	+	$110$

Paso 8.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$110$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$110 x$	+	$110$
							-	$110 x$	+	$110$

Paso 8.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 110 x + 110$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$110$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$110 x$	+	$110$
							+	$110 x$	-	$110$

Paso 8.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$110$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$110 x$	+	$110$
							+	$110 x$	-	$110$
										$0$

Paso 8.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} + x - 110$

Paso 8.1.6

Escribe $x^{3} - 111 x + 110$ como un conjunto de factores.

$(x - 1) (x^{2} + x - 110) = 0$

Paso 8.2

Factoriza $x^{2} + x - 110$ con el método AC.

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Paso 8.2.1

Factoriza $x^{2} + x - 110$ con el método AC.

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Paso 8.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 110$ y cuya suma es $1$ .

$- 10, 11$

Paso 8.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 1) ((x - 10) (x + 11)) = 0$

Paso 8.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 1) (x - 10) (x + 11) = 0$

Paso 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 10 = 0$

$x + 11 = 0$

Paso 10

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 10.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 11

Establece $x - 10$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x - 10$ igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

Paso 11.2

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 10$

Paso 12

Establece $x + 11$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $x + 11$ igual a $0$ .

$x + 11 = 0$

Paso 12.2

Resta $11$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 11$

Paso 13

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 1) (x - 10) (x + 11) = 0$ verdadera.

$x = 1, 10, - 11$

Paso 14