Álgebra Ejemplos

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 21$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2} - 7 \cdot - 3 - 21$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = - 3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$- 27 + 3 {(- 3)}^{2} - 7 \cdot - 3 - 21$

Paso 4.1.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$- 27 + 3 \cdot 9 - 7 \cdot - 3 - 21$

Paso 4.1.3

Multiplica $3$ por $9$ .

$- 27 + 27 - 7 \cdot - 3 - 21$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 7$ por $- 3$ .

$- 27 + 27 + 21 - 21$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Suma $- 27$ y $27$ .

$0 + 21 - 21$

Paso 4.2.2

Suma $0$ y $21$ .

$21 - 21$

Paso 4.2.3

Resta $21$ de $21$ .

$0$

Paso 5

Como $- 3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 21}{x + 3}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(- 3)$ y coloca el resultado de $(- 3)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(3)$ .

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$
	$1$	$0$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(0)$ por el divisor $(- 3)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 7)$ .

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$
	$1$	$0$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$
	$1$	$0$	$- 7$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 7)$ por el divisor $(- 3)$ y coloca el resultado de $(21)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 21)$ .

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$	$21$
	$1$	$0$	$- 7$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$	$21$
	$1$	$0$	$- 7$	$0$

Paso 6.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{2} + 0 x - 7$

Paso 6.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{2} - 7$

Paso 7

Resuelve la ecuación para obtener las raíces restantes.

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Paso 7.1

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 7$

Paso 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{7}$

Paso 7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{7}$

Paso 7.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{7}$

Paso 7.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Paso 8

El polinomio puede escribirse como un conjunto de factores lineales.

$(x + 3) (x - \sqrt{7}) (x + \sqrt{7})$

Paso 9

Estas son las raíces (ceros) del polinomio $x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 21$ .

$x = - 3, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - 3, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Forma decimal:

$x = - 3, 2.64575131 \dots, - 2.64575131 \dots$

Paso 11