Álgebra Ejemplos

$f (x) = x^{6} - 2 x^{4} - 5 x^{2} + 6$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(1)}^{6} - 2 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{2} + 6$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 2 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{2} + 6$

Paso 4.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 2 \cdot 1 - 5 {(1)}^{2} + 6$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$1 - 2 - 5 {(1)}^{2} + 6$

Paso 4.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 2 - 5 \cdot 1 + 6$

Paso 4.1.5

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$1 - 2 - 5 + 6$

$1 - 2 - 5 + 6$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Resta $2$ de $1$ .

$- 1 - 5 + 6$

Paso 4.2.2

Resta $5$ de $- 1$ .

$- 6 + 6$

Paso 4.2.3

Suma $- 6$ y $6$ .

$0$

$0$

$0$

Paso 5

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{6} - 2 x^{4} - 5 x^{2} + 6}{x - 1}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$
	$1$	$1$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 2)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$
	$1$	$1$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$
	$1$	$1$	$- 1$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 1)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(- 1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 1)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(- 1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 5)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$

Paso 6.11

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 6)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(- 6)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$

Paso 6.12

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$

Paso 6.13

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 6)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(- 6)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(6)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$

Paso 6.14

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$	$0$

Paso 6.15

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{5} + 1 x^{4} - 1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 6) x - 6$

Paso 6.16

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{5} + x^{4} - x^{3} - x^{2} - 6 x - 6$

$x^{5} + x^{4} - x^{3} - x^{2} - 6 x - 6$

Paso 7

Resuelve la ecuación para obtener las raíces restantes.

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Paso 7.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.1.1

Reagrupa los términos.

$x^{5} - x^{3} - 6 x + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Paso 7.1.2

Factoriza $x$ de $x^{5} - x^{3} - 6 x$ .

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Paso 7.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - x^{3} - 6 x + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Paso 7.1.2.2

Factoriza $x$ de $- x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) - 6 x + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Paso 7.1.2.3

Factoriza $x$ de $- 6 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot - 6 + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Paso 7.1.2.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ .

$x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 6 + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Paso 7.1.2.5

Factoriza $x$ de $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 6$ .

$x (x^{4} - x^{2} - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

$x (x^{4} - x^{2} - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Paso 7.1.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - x^{2} - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Paso 7.1.4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$x (u^{2} - u - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Paso 7.1.5

Factoriza $u^{2} - u - 6$ con el método AC.

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Paso 7.1.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 3, 2$

Paso 7.1.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$x ((u - 3) (u + 2)) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

$x ((u - 3) (u + 2)) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Paso 7.1.6

Factoriza.

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Paso 7.1.6.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 3) (x^{2} + 2)) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Paso 7.1.6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Paso 7.1.7

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + {(x^{2})}^{2} - x^{2} - 6 = 0$

Paso 7.1.8

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + u^{2} - u - 6 = 0$

Paso 7.1.9

Factoriza $u^{2} - u - 6$ con el método AC.

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Paso 7.1.9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 3, 2$

Paso 7.1.9.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (u - 3) (u + 2) = 0$

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (u - 3) (u + 2) = 0$

Paso 7.1.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) = 0$

Paso 7.1.11

Factoriza $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ de $x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ .

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Paso 7.1.11.1

Factoriza $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ de $x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) = 0$

Paso 7.1.11.2

Factoriza $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ de $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (1) = 0$

Paso 7.1.11.3

Factoriza $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ de $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (1)$ .

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x + 1) = 0$

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x + 1) = 0$

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x + 1) = 0$

Paso 7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 7.3

Establece $x^{2} - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.3.1

Establece $x^{2} - 3$ igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Paso 7.3.2

Resuelve $x^{2} - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 3$

Paso 7.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Paso 7.3.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.3.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{3}$

Paso 7.3.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{3}$

Paso 7.3.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 7.4

Establece $x^{2} + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.4.1

Establece $x^{2} + 2$ igual a $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Paso 7.4.2

Resuelve $x^{2} + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.4.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 2$

Paso 7.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Paso 7.4.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Paso 7.4.2.3.1

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Paso 7.4.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Paso 7.4.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

$x = \pm i \sqrt{2}$

Paso 7.4.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.4.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{2}$

Paso 7.4.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{2}$

Paso 7.4.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Paso 7.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 7.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

$x = - 1$

Paso 7.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - 1$

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - 1$

Paso 8

El polinomio puede escribirse como un conjunto de factores lineales.

$(x - 1) (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) (x - i \sqrt{2}) (x + \sqrt{2} i) (x + 1)$

Paso 9

Estas son las raíces (ceros) del polinomio $x^{6} - 2 x^{4} - 5 x^{2} + 6$ .

$x = 1, \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - 1$

Paso 10

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$