Álgebra Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 7 x^{2} + 42 x + 26$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(- 1)}^{4} - 8 {(- 1)}^{3} + 7 {(- 1)}^{2} + 42 (- 1) + 26$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = - 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$1 - 8 {(- 1)}^{3} + 7 {(- 1)}^{2} + 42 (- 1) + 26$

Paso 4.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$1 - 8 \cdot - 1 + 7 {(- 1)}^{2} + 42 (- 1) + 26$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$1 + 8 + 7 {(- 1)}^{2} + 42 (- 1) + 26$

Paso 4.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 + 8 + 7 \cdot 1 + 42 (- 1) + 26$

Paso 4.1.5

Multiplica $7$ por $1$ .

$1 + 8 + 7 + 42 (- 1) + 26$

Paso 4.1.6

Multiplica $42$ por $- 1$ .

$1 + 8 + 7 - 42 + 26$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Suma $1$ y $8$ .

$9 + 7 - 42 + 26$

Paso 4.2.2

Suma $9$ y $7$ .

$16 - 42 + 26$

Paso 4.2.3

Resta $42$ de $16$ .

$- 26 + 26$

Paso 4.2.4

Suma $- 26$ y $26$ .

$0$

Paso 5

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{4} - 8 x^{3} + 7 x^{2} + 42 x + 26}{x + 1}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(- 1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 8)$ .

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$
	$1$	$- 9$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 9)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(9)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(7)$ .

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$	$9$
	$1$	$- 9$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$	$9$
	$1$	$- 9$	$16$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(16)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(- 16)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(42)$ .

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$	$9$	$- 16$
	$1$	$- 9$	$16$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$	$9$	$- 16$
	$1$	$- 9$	$16$	$26$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(26)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(- 26)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(26)$ .

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$	$9$	$- 16$	$- 26$
	$1$	$- 9$	$16$	$26$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$	$9$	$- 16$	$- 26$
	$1$	$- 9$	$16$	$26$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{3} + - 9 x^{2} + (16) x + 26$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{3} - 9 x^{2} + 16 x + 26$

Paso 7

Resuelve la ecuación para obtener las raíces restantes.

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Paso 7.1

Factoriza $x^{3} - 9 x^{2} + 16 x + 26$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 7.1.1

$p = \pm 1, \pm 26, \pm 2, \pm 13$

$q = \pm 1$

Paso 7.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 26, \pm 2, \pm 13$

Paso 7.1.3

Sustituye $- 1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 7.1.3.1

Sustituye $- 1$ en el polinomio.

${(- 1)}^{3} - 9 {(- 1)}^{2} + 16 \cdot - 1 + 26$

Paso 7.1.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- 1 - 9 {(- 1)}^{2} + 16 \cdot - 1 + 26$

Paso 7.1.3.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 1 - 9 \cdot 1 + 16 \cdot - 1 + 26$

Paso 7.1.3.4

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$- 1 - 9 + 16 \cdot - 1 + 26$

Paso 7.1.3.5

Resta $9$ de $- 1$ .

$- 10 + 16 \cdot - 1 + 26$

Paso 7.1.3.6

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$- 10 - 16 + 26$

Paso 7.1.3.7

Resta $16$ de $- 10$ .

$- 26 + 26$

Paso 7.1.3.8

Suma $- 26$ y $26$ .

$0$

Paso 7.1.4

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 16 x + 26}{x + 1}$

Paso 7.1.5

Divide $x^{3} - 9 x^{2} + 16 x + 26$ por $x + 1$ .

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Paso 7.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$16 x$

$26$

Paso 7.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$

Paso 7.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 7.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 7.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

Paso 7.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$

Paso 7.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 10 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$

Paso 7.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$10 x$

Paso 7.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 10 x^{2} - 10 x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$

Paso 7.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$26 x$

Paso 7.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$26 x$	+	$26$

Paso 7.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $26 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$26$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$26 x$	+	$26$

Paso 7.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$26$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$26 x$	+	$26$
							+	$26 x$	+	$26$

Paso 7.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $26 x + 26$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$26$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$26 x$	+	$26$
							-	$26 x$	-	$26$

Paso 7.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$26$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$26 x$	+	$26$
							-	$26 x$	-	$26$
										$0$

Paso 7.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 10 x + 26$

Paso 7.1.6

Escribe $x^{3} - 9 x^{2} + 16 x + 26$ como un conjunto de factores.

$(x + 1) (x^{2} - 10 x + 26) = 0$

Paso 7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - 10 x + 26 = 0$

Paso 7.3

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.3.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 7.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 7.4

Establece $x^{2} - 10 x + 26$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.4.1

Establece $x^{2} - 10 x + 26$ igual a $0$ .

$x^{2} - 10 x + 26 = 0$

Paso 7.4.2

Resuelve $x^{2} - 10 x + 26 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.4.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.4.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 10$ y $c = 26$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 26)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3

Simplifica.

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Paso 7.4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.2.3.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 26$ .

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Paso 7.4.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $26$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 104}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.3

Resta $104$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.4

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{10 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2}$

Paso 7.4.2.3.3

Simplifica $\frac{10 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 5 \pm i$

Paso 7.4.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 7.4.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.2.4.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 26$ .

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Paso 7.4.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $26$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 104}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.4.1.3

Resta $104$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.4.1.4

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.4.1.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.4.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{10 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.4.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2}$

Paso 7.4.2.4.3

Simplifica $\frac{10 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 5 \pm i$

Paso 7.4.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 5 + i$

Paso 7.4.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 7.4.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.2.5.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 26$ .

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Paso 7.4.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $26$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 104}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.5.1.3

Resta $104$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.5.1.4

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.5.1.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.5.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{10 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.5.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2}$

Paso 7.4.2.5.3

Simplifica $\frac{10 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 5 \pm i$

Paso 7.4.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 5 - i$

Paso 7.4.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 5 + i, 5 - i$

Paso 7.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x^{2} - 10 x + 26) = 0$ verdadera.

$x = - 1, 5 + i, 5 - i$

Paso 8

El polinomio puede escribirse como un conjunto de factores lineales.

$(x + 1) (x - 5 - i) (x - 5 + i)$

Paso 9

Estas son las raíces (ceros) del polinomio $x^{4} - 8 x^{3} + 7 x^{2} + 42 x + 26$ .

$x = - 1, 5 + i, 5 - i$

Paso 10